Vectoren, vraagstuk 90

S is het oppervlak van een halve bol (z ≥ 0) met straal a. Geef een parametrisering van S:
  1. In Cartesische coördinaten.
  2. In bolcoördinaten.
  3. In cilindercoördinaten.
  1. In Cartesische coördinaten.

    In Cartesische coördinaten is de parametrisering van ‘iets’ in zijn algemeenheid:



    In dit vraagstuk is dat ‘iets’ een halve bol en voor een bol met straal a geldt:



    Een parametrisering voor de bol zou dan kunnen zijn:



    In dit geval (maar dat hoeft niet altijd zo te zijn) kunnen we z als functie van x en y schrijven:



    Waardoor de parametrisering wordt:



    Dat kan ik ook schrijven als:



    Of ik introduceer twee nieuwe parameters door te stellen:







    Dit kan ook:









    En uiteraard dit:









    De mogelijkheden zijn eindeloos (maar lang niet allemaal even aantrekkelijk om mee verder te werken).

  2. In bolcoördinaten.

    In bolcoördinaten is de parametrisering van ‘iets’ in zijn algemeenheid:



    In dit vraagstuk is dat ‘iets’ een halve bol en voor een bol met straal a geldt:



    Een parametrisering voor de bol zou dan kunnen zijn:



    Ook hier zijn uiteraard weer vele varianten te bedenken maar simpeler zal het daar niet van worden.

  3. In cilindercoördinaten.

    In cilindercoördinaten is de parametrisering van ‘iets’ in zijn algemeenheid:



    In dit vraagstuk is dat ‘iets’ een halve bol en voor een bol met straal a geldt:



    We kunnen ζ schrijven als functie van r:



    Een parametrisering voor de bol zou dan kunnen zijn:



    Of we kunnen r schrijven als functie van ζ:



    Dan wordt de parametrisering: