Vectoren, vraagstuk 84

S is het oppervlak van de eenheidsbol met straal 1 en de oorsprong als middelpunt. Het vectorveld w is gegeven door:



Bereken:

  1. Rechtstreeks.
  2. Met behulp van de stelling van Gauss.
  1. Rechtstreeks.

    In Cartesische coördinaten wordt een bol beschreven door:



    Omdat we hier te maken hebben met een eenheidsbol geldt dus:





    Het feit dat we te maken hebben met een boloppervlak nodigt uit om over te gaan op bolcoördinaten:







    Met de kennis dat ρ = 1 volgt hieruit als parametrisering voor S:



    Nu bepaal ik de partiële afgeleiden van S:





    Via het uitwendig product kan ik hiermee dA berekenen:



    Uit de parametrisering van S kan ik x, y en z aflezen en daarmee het vectorveld schrijven als:



    Nu bereken ik het inwendig product wdA en dat verbouw ik gelijk tot iets dat een beetje fatsoenlijk te integreren is:



    De grenzen van de bol zijn:





    Dan wordt de integraal:



    Voor het oplossen van deze integraal heb ik gebruik gemaakt van de tabel met standaardintegralen.

  2. Met behulp van de stelling van Gauss.

    Volgens meneer Gauss geldt ook voor deze bol (B) de stelling van Gauss:



    kennen we als volgt:



    Dan wordt het inwendig product w:



    Hier ben ik in de laatste stap weer overgegaan naar bolcoördinaten (en ρ dient nu wel meegenomen te worden als variabele omdat we het volume van de bol gaan integreren). In bolcoördinaten geldt voor een volumestukje dV:



    De grenzen van de bol zijn:







    Dan wordt de integraal: