Vectoren, vraagstuk 83

Maak recepten voor het oplossen van de volgende typen vraagstukken:
  1. Gevraagd:



    Waarbij H gegeven is als H = { ... }. Teken een willekeurig gebied H en ga na wat u van H moet weten om een herhaalde integraal op te stellen; hoe kiest u de integratievolgorde?
  2. Verwissel de integratievolgorde van:



    Teken de grafieken van twee willekeurige functies φ1 (x) en φ2 (x), met x ϵ [a, b]; in welke gevallen moet het gebied worden gesplitst om de integratievolgorde te kunnen verwisselen?
  1. Gevraagd:



    Waarbij H gegeven is als H = { ... }. Teken een willekeurig gebied H en ga na wat u van H moet weten om een herhaalde integraal op te stellen; hoe kiest u de integratievolgorde?

    Ik heb een willekeurig gebied H getekend:



    Om het gebied H te kunnen integreren heb ik alle functiebeschrijvingen nodig van de randen van het integratiegebied, in dit geval de functies f1 (x), f2 (x) en f3 (x) of de inversen daarvan g1 (y), g2 (y) en g3 (y). Indien ik eerst naar dx integreer dan moet ik g1 (y) en g2 (y) weten en voor het integreren naar dy moet ik f3 (x) tot mijn beschikking hebben en daarnaast heb ik ook de coördinaten van het snijpunt van f1 (x) en f2 (x) nodig. De functie f3 (x) is een rechte lijn en zal er dus uitzien als:



    Indien ik het snijpunt van f1 (x) en f2 (x) aanduid met S (xs, ys) dan wordt de integraal over het gebied H:


  2. Verwissel de integratievolgorde van:



    Teken de grafieken van twee willekeurige functies φ1 (x) en φ2 (x), met x ϵ [a, b]; in welke gevallen moet het gebied worden gesplitst om de integratievolgorde te kunnen verwisselen?

    Ik heb een willekeurig gebied H getekend:



    Ik integreer eerst naar dy. Dat kan ik mij visualiseren door over de volle breedte vanuit ‘de diepte’ (y = −∞) het integratiegebied H te naderen waarbij ik ‘stuit’ op y = φ1 (x). Vervolgens trek ik door het integratiegebied verder ‘noordwaarts’ en kom dan bij y = φ2 (x). Wanneer ik vervolgens naar dx integreer dan zijn mijn integratiegrenzen de uiterste x-waarden (a en b) van het integratiegebied.

    Indien ik de integratievolgorde wil omkeren dan draai ik mijn visualisatie van y-richting naar x-richting. Ik nader dan over de volle breedte vanuit ‘het westen’ (x = −∞) het integratiegebied H waarbij ik ‘stuit’ op y = φ1 (x) (het bovenste deel van H) én y = φ2 (x) (het onderste deel van H). In een dergelijk geval, wanneer de grens van het integratiegebied deels beschreven wordt door de ene functie en deels door een andere functie, dan (en alleen dan) ontkom ik er niet aan om de integraal op te splitsen. Vervolgens trek ik door het integratiegebied verder ‘oostwaarts’ en kom dan bij y = φ3 (x). Wanneer ik vervolgens naar dy integreer dan zijn mijn integratiegrenzen de uiterste y-waarden (p en q) van het integratiegebied. De functie φ3 (x) is een rechte lijn en zal er dus uitzien als:



    Indien ik het snijpunt van φ1 (x) en φ2 (x) weer aanduid met S (xs, ys) dan wordt de integraal over het gebied H (de inverse functie van φ (x) duid ik aan met ξ (y)):