Vectoren, vraagstuk 78

Onderzoek van de volgende vectorvelden of ze conservatief zijn door na te gaan of er een potentiaalfunctie is:







  1. Een vectorveld is conservatief indien het de gradiënt is van een scalarveld:



    In een dergelijk geval is het scalarveld G de potentiaalfunctie van v. Deze potentiaalfunctie gaan we nu opzoeken. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:



    Door integratie verkrijg ik:



    Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:



    Voor G kan ik dus schrijven:



    Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:



    Door integratie verkrijg ik:



    Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:



    Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:



    Voor G kan ik nu dus schrijven:



    Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:



    Door integratie verkrijg ik:



    De x-y-z-constructies die hier in staan zijn helemaal in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G. De constante c is in dit geval dus een ‘gewoon’ getal (zoals het zou moeten zijn). De uiteindelijke beschrijving van het scalarveld is:



    Waarmee aangetoond is dat het veld v conservatief is.




  2. We gaan opnieuw de procedure doorlopen die we hiervoor gevolgd hebben om de potentiaalfunctie van w te vinden. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:



    Door integratie verkrijg ik:



    Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:



    Voor G kan ik dus schrijven:



    Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:



    Door integratie verkrijg ik:



    Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:



    Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:



    Voor G kan ik nu dus schrijven:



    Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:



    Door integratie verkrijg ik:



    Maar nu is er een kink in de kabel. De x-y-z-constructies die hier in staan zijn niet in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G (de term xz tegenover de term −xz). Dit veld w is daarom niet conservatief.