Vectoren, vraagstuk 74

Veldlijnen van een in poolcoördinaten gegeven vectorveld.

Bekijk het vectorveld:



Noem de parametervoorstelling van een veldlijn:

  1. Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen:





  2. Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld:



  3. Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.
  1. Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen:





    Voor de snelheid in de richting van r (de tangentiële snelheid) geldt:



    Voor de snelheid in de richting van θ (de radiële snelheid) ligt het iets gecompliceerder. We kennen (neem ik aan):



    Door deze vergelijking te verbouwen krijg ik:



    Samengevat hebben we nu:




  2. Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld:



    Uit de parametervoorstelling van het vectorveld kan ik aflezen dat:





    Hieruit kan ik door integratie r (t) en θ (t) berekenen als volgt:





    Door t = 0 te kiezen en het punt (1, 0) in te vullen vind ik de beide constanten:





    Zodat de veldlijn tenslotte wordt:


  3. Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.

    Voor r geldt dat:



    Hiermee kunnen we θ schrijven als:



    Samengevat: