Vectoren, vraagstuk 56

Gegeven de ruimtekromme C met parametrisering:

  1. Laat zien dat elk punt van de kromme op een kegel ligt waarvan de top zich in de oorsprong bevindt.
  2. Interpreteer t als de tijd, en bereken de grootte van de snelheid van een punt dat volgens r (t) langs de baan C beweegt.
  3. In welke richting verlaat de kromme de oorsprong (in t = 0)?
  4. Bepaal de lengte van C als functie van t (laat eventueel een integraal in het antwoord staan).
  1. Laat zien dat elk punt van de kromme op een kegel ligt waarvan de top zich in de oorsprong bevindt.

    Ik ga de vergelijking voor C iets anders opschrijven:



    Het deel tussen haakjes is een eenheidscirkel, dus x en y beschrijven een cirkel met straal t:



    De straal t van deze cirkel neemt toe met toenemende z (want z = t) waardoor zich de kegel vormt.

    Het is wellicht duidelijker door eerst om te schrijven naar cilindercoördinaten:







    De vergelijking voor C wordt dan:



    Hierin is de kegel misschien duidelijker herkenbaar.

  2. Interpreteer t als de tijd, en bereken de grootte van de snelheid van een punt dat volgens r (t) langs de baan C beweegt.

    De snelheid v volgt uit:



    Waaruit de grootte (= norm) van v volgt:


  3. In welke richting verlaat de kromme de oorsprong (in t = 0)?

    Hiervoor vonden we reeds:



    Door de coördinaten van de oorsprong, dus t = 0, in te vullen krijgen we het antwoord:


  4. Bepaal de lengte van C als functie van t (laat eventueel een integraal in het antwoord staan).

    Met alle voorgaande resultaten nog bij de hand is de booglengte te berekenen als volgt:



    Voor het oplossen van deze integraal heb ik gebruik gemaakt van de tabel met standaardintegralen.