Vectoren, vraagstuk 55

Involute van een cirkel.

Er wordt een rol verbandgaas (met straal a) afgewikkeld. De rol kan niet draaien en het afgewikkelde deel wordt strak gehouden waardoor het uiteinde een spiraalvormige kromme beschrijft. De dikte van het verband is verwaarloosbaar, zodat a als constante mag worden beschouwd. Veronderstel tenslotte dat het verband niet ‘plakt’, dus dat het ideaal van de rol afwikkelt.
  1. Maak een parametervoorstelling r (θ) voor de kromme die door het uiteinde P wordt beschreven.
  2. Bereken de booglengtefunctie s (θ) van de kromme.
  1. Maak een parametervoorstelling r (θ) voor de kromme die door het uiteinde P wordt beschreven.

    Laat ik eerst een tekening maken van de situatie:



    De lengte van de vector OB is:



    En deze vector staat onder een hoek:



    De lengte van de vector BP is:



    En deze vector staat onder een hoek:



    De x-componenten en y-componenten van deze beide vectoren zijn:









    De vectorfunctie r beschrijft de afstand van de oorsprong O naar het punt P en wordt aldus:


  2. Bereken de booglengtefunctie s (θ) van de kromme.

    Hiervoor bepaal ik de afgeleide van deze kromme:



    En daar neem ik vervolgens de norm van:



    De booglengte wordt dan: