Vectoren, vraagstuk 54

Een astroïde is een kromme met parametrisering:



Waarbij a > 0 een constante is.
  1. Maak een tekening van een astroïde.
  2. Ga na in welke punten de astroïde niet regulier is.
  3. Bereken de booglengte voor het gedeelte waarvoor:

  1. Maak een tekening van een astroïde.

    Een astroïde ziet er zo uit:


  2. Ga na in welke punten de astroïde niet regulier is.

    Hiervoor bepaal ik de afgeleide van deze kromme:



    Zowel de afgeleide van x als de afgeleide van y wordt nul wanneer:



    Of:



    Oftewel, in de punten (a, 0), (0, a), (−a, 0) en (0, −a) is de kromme niet regulier.

  3. Bereken de booglengte voor het gedeelte waarvoor:



    De afgeleide, die we reeds bepaald hebben, maakt het ons mogelijk om de booglengte te berekenen: