Vectoren, vraagstuk 42

Gegeven D:

  1. Maak een schets van D.
  2. Schrijf de volgende integraal als herhaalde integraal:

  1. Maak een schets van D.

    Een schets van het integratiegebied D ziet er als volgt uit, allereerst bekijken we de doorsnede y-z voor enkele x-waarden (x = 0, x = 1, x = √2):



    Dit is de doorsnede x-y voor enkele z-waarden (z = 0, z = 1, z = 2):



    Het is een soort omgekeerde kegel (met de punt dus naar beneden) met de top in de oorsprong (dus de straal van de kegel is nul voor z = 0) en een straal van √2 voor z = 2. De wanden van de kegel zijn niet recht maar worden beschreven door een parabool. We hebben dus niet te maken met een kegel maar met een paraboloïde. Datgene wat gearceerd is is het integratiegebied (alleen het eerste kwadrant, dus het is een kwart paraboloïde).

  2. Schrijf de volgende integraal als herhaalde integraal:



    Alle grenzen zijn al gegeven, en door de integratievolgorde om te keren wordt de integraal:



    Het is natuurlijk wel leuk om de integraal dan ook ‘effe’ uit te rekenen:



    Voor het oplossen van deze integraal maak ik gebruik van de tabel met standaardintegralen. Het eindresultaat wordt dan:



    Dit is waarschijnlijk veel handiger in cilindercoördinaten:









    Voor de bovengrens van r geldt:



    Waarmee de integratiegrenzen worden:







    De integraal wordt dan: