Vectoren, vraagstuk 41

Gegeven G:

  1. Maak een schets van G.
  2. Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt. Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool y2 = 4 − 4x uit in θ.
  3. Bereken de volgende integraal door over te gaan op poolcoördinaten:

  1. Maak een schets van G.

    Een schets van het integratiegebied G ziet er als volgt uit:


  2. Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt. Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool y2 = 4 − 4x uit in θ.

    Voor de rechte lijn geldt dat θ = constant. Het snijpunt met de parabool kan dan gevonden worden door de parabool om te schrijven naar poolcoördinaten en vervolgens die waarde voor θ in te vullen. De relatie tussen Cartesische coördinaten en poolcoördinaten is:





    Daarmee wordt de vergelijking van de parabool:



    En hieruit kunnen we de snijpunten vinden:





    Omdat r2 negatief is, geeft r1 het snijpunt dat we zoeken. Dus:


  3. Bereken de volgende integraal door over te gaan op poolcoördinaten:



    Ik ga eerst de te integreren functie omschrijven naar poolcoördinaten:



    Verder geldt nog:



    Uit het schetsje is te zien dat er geïntegreerd moet worden van r = 1 (de cirkel) tot de parabool:



    Alles speelt zich af in het eerste kwadrant en daardoor worden de grenzen voor θ:



    Zodat de integraal uiteindelijk wordt: