Vectoren, vraagstuk 39

Bereken de volgende integralen. Maak eerst een schets van G en kies geschikte coördinaten.



  1. Waarbij:






  2. Waarbij:




  1. Het integratiegebied G is een cilinder, dus dan ligt het voor de hand om over te gaan naar cilindercoördinaten:









    De te integreren functie wordt dan:



    En de grenzen wijzigen in:





    Dan wordt de integraal:



    Grenzen invullen:



    Nogmaals grenzen invullen:



    En voor de laatste keer grenzen invullen:





  2. Het integratiegebied G is een deel van een bol (het bovenste deel waarbij z ≥ 1/2), dus dan ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten:









    De te integreren functie wordt dan:



    En de grenzen wijzigen in:





    Uit de bovenstaande eisen volgt:



    Voor φ = 0 geldt:







    Dat is het topje van de bol en tevens de ondergrens van φ. De bovengrens van φ wordt bereikt voor:



    Dan wordt de integraal:




    Hoe pakt dit uit met cilindercoördinaten? Er geldt dan:









    De te integreren functie wordt dan:



    Uit de bovenstaande eisen volgt:





    En de grenzen wijzigen in:





    Dan wordt de integraal:




    Voor het oplossen van deze integraal heb ik gebruik gemaakt van de tabel met standaardintegralen.