Vectoren, vraagstuk 14

Gegeven de vectoren:









De lijnen k en m hebben respectievelijk parametervoorstellingen:



  1. Laat zien dat de twee lijnen elkaar niet snijden.
  2. Bepaal parametervoorstellingen van twee onderling evenwijdige vlakken V en W, zo dat k V en m W.
  3. Bereken de (loodrechte) afstand tussen V en W (dat is de kortste afstand tussen k en m).
  1. Laat zien dat de twee lijnen elkaar niet snijden.

    Het snijpunt van de twee lijnen k en m vinden we door ze aan elkaar gelijk te stellen:



    Door dit uit te schrijven in componenten krijgen we:







    De waarde voor α die volgt uit de vergelijking voor z vullen we in in de vergelijkingen voor x en y:





    Hier volgen twee verschillende waarden voor β uit, dus er is geen snijpunt.

  2. Bepaal parametervoorstellingen van twee onderling evenwijdige vlakken V en W, zo dat k V en m W.

    Door de richtingsvector van de ene lijn toe te voegen aan de andere lijn, en vice versa, ontstaan twee vlakken die evenwijdig lopen (want ze hebben dezelfde richtingsvectoren) en die ieder voor zich de lijn k of m bevatten (door γ respectievelijk δ nul te stellen):




  3. Bereken de (loodrechte) afstand tussen V en W (dat is de kortste afstand tussen k en m).

    Het uitwendig product van de richtingsvectoren p en q is een normaalvector van beide vlakken (want ze lopen evenwijdig):



    Laten we voor het gemak nemen n = (1, 1, −1), het gaat immers om de richting en niet om de grootte.

    De projectie van de steunvector a op n is an. Dit is | an | maal een ‘eenheidsstukje’ van n, dus:



    We rekenen nu eerst het inwendig product an uit:



    En vervolgens | n |2:



    Daarmee wordt de projectie:



    Voor de projectie van de steunvector van b op n rekenen we nu het inwendig product bn uit:



    Daarmee wordt de projectie:



    De afstand tussen beide vlakken is de absolute waarde van het verschil van de projecties: