Vectoren, vraagstuk 9

  1. Gegeven de vectoren:





    Ga na of de volgende punten op het lijnsegment pq liggen:







  2. Laat zien dat de volgende punten op één lijn liggen:





  1. Gegeven de vectoren:





    Ga na of de volgende punten op het lijnsegment pq liggen:







    We stellen eerst de parametervoorstelling op van het lijnsegment pq. Als richtingsvector neem ik pq = qp:



    Als steunvector gebruik ik p. De parametervoorstelling van pq wordt dan:



    Nu ga ik voor het punt A controleren of het op pq ligt door de componenten te vergelijken:







    Voor alledrie de componenten geldt dezelfde waarde van α, namelijk 0.5, en deze waarde ligt ook nog in het interval [0, 1] dus dit punt ligt op het lijnsegment pq.

    Nu ga ik voor het punt B controleren of het op pq ligt door de componenten te vergelijken:







    Voor alledrie de componenten geldt dezelfde waarde van α, namelijk −0.5. Dit punt ligt dus wel op de lijn door p en q, maar niet niet op het lijnsegment pq, want α ligt buiten het interval [0, 1].

    Nu ga ik voor het punt C controleren of het op pq ligt door de componenten te vergelijken:







    Voor alledrie de componenten geldt niet dezelfde waarde van α, dus dit punt ligt zelfs niet op de lijn door p en q.

  2. Laat zien dat de volgende punten op één lijn liggen.







    We stellen eerst de parametervoorstelling op van de lijn L door p en q. Als richtingsvector neem ik pq = qp:



    Als steunvector gebruik ik p. De parametervoorstelling van L wordt dan:



    Nu ga ik voor het punt r controleren of het op L ligt door de componenten te vergelijken:







    Voor alledrie de componenten geldt dezelfde waarde van α, namelijk −2, dus het punt r ligt op L.

    Een alternatieve aanpak was geweest om nadat ik hierboven de vector pq had bepaald ook de vector pr te bepalen:



    Er is eenvoudig in te zien dat:



    De vectoren pq en pr zijn afhankelijk en liggen dus op één lijn.