Relativiteitstheorie, vraagstuk 38

Bereken de relativistische rotatie-energie van een holle bol.



We hebben het hier over een perfecte bol met een bepaalde rustmassa m0, en die massa is gelijkmatig verdeeld over het gehele oppervlak.



En zoals de vraag al aangaf hebben we te maken met een holle bol, zie het opengewerkte plaatje hiernaast. De wand van de bol heeft voor het gemak een verwaarloosbare dikte.



De bol heeft een straal R ...







... en draait met een bepaalde hoeksnelheid ω.

De totale oppervlakte van de bol is:



Voor de dichtheid van het oppervlak geldt dan:

De kinetische energie van een bepaalde massa m is:



Wanneer ik dat vertaal naar de kinetische energie (in dit geval dus rotatie-energie) van een infinitesimaal stukje oppervlak wordt dat:







Dit infinitesimale stukje oppervlak kies ik als volgt, ik neem een horizontaal bandje van de bol (de groene lijn) en tevens definieer ik een hoek α tussen dit bandje en de ‘evenaar’ van de bol. De straal van het bandje kan ik dan schrijven als:

De omtrek van het bandje is:

Nu ga ik even inzoomen op het bandje. Het bandje is infinitesimaal hoog (of breed, net hoe je het noemen wilt) en sluit daardoor een infinitesimaal hoekje dα in. Daarmee wordt de hoogte van het bandje:

De oppervlakte van het bandje is omtrek maal hoogte:



Met behulp van vergelijking (2) kan ik dan de massa van het bandje opschrijven:



Dit resultaat stop ik in vergelijking (4):



En voor de rotatiesnelheid van het bandje geldt:



Waarmee vergelijking (10) uiteindelijk wordt:



Om de totale rotatie-energie te berekenen ga ik integreren waarbij ik gebruik maak van de tabel met standaardintegralen:



Dit resultaat ga ik verbouwen met behulp van de vergelijkingen (2) en (4):

Dit is een mooi resultaat, maar wel op de klassieke manier berekend! De vraag daarentegen was om de rotatie-energie relativistisch te berekenen, en dat vereist een andere aanpak. We beginnen daarvoor met de wereldberoemde formule van Einstein:

Oftewel:

Nu komt de Lorentz-factor γ er bij in:

Vergelijking (16) verandert hiermee in:



Met behulp van de vergelijkingen (9) en (11) wordt dit:



Ik stel:



Waarmee (19) wordt:



De volgende stap is weer om te gaan integreren en ik maak wederom gebruik van de tabel met standaardintegralen:



Hier ga ik (1), (2) en (20) in invullen:



Kunnen we deze oplossing proberen te duiden? Laten we eerst eens kijken naar de situatie dat de bol niet draait, dus het limietgeval dat ω naar nul gaat. Daarvoor ga ik het bovenstaande resultaat iets anders opschrijven:



Ik stel:



Waarmee ik (24) als volgt kan schrijven:



Nu ga ik gebruik maken van de volgende limiet:



Hiermee vind ik de energie van de stilstaande (niet-roterende) bol:



Relativistisch gezien inderdaad helemaal wat het zou moeten zijn. Wat ook nog interessant is om te bekijken is wat de rotatie-energie is bij een lage hoeksnelheid, oftewel wanneer relativistische effecten volkomen te verwaarlozen zijn.

Van de natuurlijke logaritme kennen we de volgende Taylor-reeks:

Dit ga ik loslaten op vergelijking (22):



Merk op dat de eerste term gelijk is aan de rustenergie volgens vergelijking (28), de tweede term is gelijk aan de klassieke berekening van de rotatie-energie volgens vergelijking (14) en alle volgende termen zijn relativistische bijdragen (die pas significant worden wanneer ωR in de buurt komt van c):