Relativiteitstheorie, vraagstuk 34

Bereken, uitgaande van de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa, de periheliumprecessie van een planeet (in een tweede orde benadering).
Dit is de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa (voor de afleiding zie dit vraagstuk):



Waarbij voor u geldt:



Het slechte nieuws is: er is geen exacte oplossing bekend van deze differentiaalvergelijking. Het goede nieuws is: in de wiskunde zijn we niet voor één gat te vangen. Wanneer ik in vergelijking (1) de meest rechtse term weglaat dan blijft dit over:

De oplossing hiervan is de welbekende eerste wet van Kepler (planeten volgen elliptische banen):

De meest rechtse term van vergelijking (1) zal klein zijn, want anders was het al veel eerder opgevallen dat de eerste wet van Kepler niet precies klopt. Sterker nog, dan zou Kepler nooit tot zijn eerste wet zijn gekomen, want hij heeft die immers afgeleid uit waarnemingen. Tycho Brahe had destijds de meest nauwkeurige waarneemgegevens en die stelden Kepler in staat om zijn wetten op te stellen. Let wel, die hele rechterterm, inclusief de u2, is klein, maar dat hoeft niet te gelden (en dat geldt ook niet) voor het getal 3GM/c2 dat ervoor staat. Ik ga daarom vergelijking (1) wat verbouwen. Ik stel:



Waardoor (1) overgaat in:



Vervolgens stel ik:





Op deze manier weet ik zeker dat λ een klein getalletje is. Vergelijking (6) wordt dan:



Vervolgens stel ik dat mijn oplossing eruit moet zien als volgt:



Ik besluit voor een tweede orde benadering te gaan:



En dit vul ik in in vergelijking (8):



Zoals gezegd ga ik voor een tweede orde benadering en daarom ga ik die termen met λ3, λ4 en λ5 verwaarlozen:



Dit resultaat ga ik een beetje reorganiseren:



En vervolgens deel ik het op in drie vergelijkingen, termen zonder λ, termen met λ en termen met λ2:







De oplossing van (14a) is simpel, dat is de klassieke Kepler-oplossing:



In het vorige vraagstuk heb ik u1 gevonden, de eerste orde benadering, dus die haal ik daar simpelweg op:



En deze beide oplossingen vul ik in in vergelijking (14c):



Vergelijking (17) ga ik opdelen in zes vergelijkingen:













De oplossing van (18a) is simpel, dat is weer de klassieke Kepler-oplossing:



Voor de andere vijf is het een beetje zoeken en aftasten (zoals meestal met differentiaalvergelijkingen), maar de algemene oplossing van:



Is dit:



Bewijs:







De algemene oplossing van:



Is dit:



Bewijs:







De algemene oplossing van:



Is dit:



Bewijs:







De algemene oplossing van:



Is dit:



Bewijs:







En de algemene oplossing van:



Is dit:



Bewijs:







De oplossing van (18b) wordt daarmee:



De oplossing van (18c):



De oplossing van (18d):



De oplossing van (18e):



En de oplossing van (18f) wordt:



De totale oplossing van u2 is de som van (19), (35), (36), (37), (38) en (39):



En de totale oplossing van u (zie vergelijking (10)) is de som van (15), (16) en (40):



De afstand r is de reciproke hiervan:



Nu kunnen we terug naar de beginvraag van deze pagina: wat is de precessie van het perihelium? In het perihelium is r minimaal en dus de noemer van vergelijking (42) maximaal. Ik neem die noemer daarom even apart onder de loep:



Voor het maximaal zijn van deze noemer spelen de constanten geen rol en die kunnen er dus uit:



Die termen met λ cos φ, λ2 cos φ en λ2 cos3 φ zijn gemiddeld over een hele omloop van de planeet nul en dragen daarom ook niets bij. En die termen met cos2 φ zijn gemiddeld over een hele omloop van de planeet constant en dragen daarom op de lange duur ook niets bij. Weg ermee:



En ik kan natuurlijk een factor e uitdelen en wat termen samen nemen:



Voor de eenvoud ga ik uit van een cirkelvormige baan. Met andere woorden, ik stel e = 0:



Het is goed om hier de eerste orde benadering uit het vorige vraagstuk onder te zetten:



Bij mij komt steeds meer het gevoel naar boven dat deze tweede orde benadering niets nieuws gaat brengen ten opzichte van de eerste orde benadering (lees: er komt niet nog ergens een significante term bovendrijven). Daarom ga ik nu eerst λ uitrekenen voor de planeet die het dichtst bij de Zon staat: Mercurius. Hiervoor gebruik ik (7b):



Wanneer we de gegevens van Mercurius invullen dan volgt hieruit dat λ = 8.0 ∙ 10-8. Na één omloop van de planeet precesseert het perihelium van Mercurius minder dan dertig kilometer (28.8 km), en dat is minder dan een tienmiljoenste van de totale omloopafstand (360 miljoen kilometer). Op die precessie zou dan nog een correctie moeten volgen van 5/2 λ en er ontstaat tevens een nieuwe precessieterm van 1/2 λ2 (het verschil tussen de vergelijkingen (47) en (48)). Kortom, op vergelijking (47) kan ik nog een heleboel wiskundige trucs loslaten, maar dat zal geen nieuwe inzichten opleveren.

De eerste orde benadering uit het vorige vraagstuk is absoluut nauwkeurig genoeg (ondanks dat ik daar verwaarlozingen heb toegepast die mij er toe brachten om toch een keer de tweede orde benadering te willen uitrekenen).

Aan het resultaat zoals Einstein het iets meer dan honderd jaar geleden ook vond (maar dan wel op een hele andere manier) is dus niets af te dingen:



Passage uit het originele artikel van Einstein over de algemene relativiteitstheorie

Het minieme verschil tussen ‘Newtonse zwaartekracht’ en de werkelijkheid werd in 1855 ontdekt door de Fransman Urbain Le Verrier voor de planeet Mercurius. Weliswaar is het verloop van de periheliumprecessie van Mercurius nog geen dertig kilometer per mercuriusjaar, en daardoor nauwelijks waarneembaar, maar een mercuriusjaar duurt minder dan drie maanden op Aarde waardoor per aardejaar het verloop al ruim honderd kilometer is (vier maal zoveel) en per eeuw ruim tienduizend kilometer (honderd maal zoveel). Dit laatste viel ook in de negentiende eeuw al op, om te beginnen dus door Le Verrier. Voor de planeet Mercurius berekende Le Verrier een afwijking van 38 boogseconden per eeuw en hij ging er van uit dat een nog onontdekte planeet tussen Mercurius en de Zon deze afwijking veroorzaakte. Deze planeet kreeg alvast een naam, Le Verrier doopte de planeet Vulcanus, maar ondanks alle inspanningen werd de planeet nooit gevonden.