Relativiteitstheorie, vraagstuk 33

Bereken, uitgaande van de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa, de periheliumprecessie van een planeet (in een eerste orde benadering).
Dit is de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa (voor de afleiding zie dit vraagstuk):



Waarbij voor u geldt:



Het slechte nieuws is: er is geen exacte oplossing bekend van deze differentiaalvergelijking. Het goede nieuws is: in de wiskunde zijn we niet voor één gat te vangen. Wanneer ik in vergelijking (1) de meest rechtse term weglaat dan blijft dit over:

De oplossing hiervan is de welbekende eerste wet van Kepler (planeten volgen elliptische banen):

De meest rechtse term van vergelijking (1) zal klein zijn, want anders was het al veel eerder opgevallen dat de eerste wet van Kepler niet precies klopt. Sterker nog, dan zou Kepler nooit tot zijn eerste wet zijn gekomen, want hij heeft die immers afgeleid uit waarnemingen. Tycho Brahe had destijds de meest nauwkeurige waarneemgegevens en die stelden Kepler in staat om zijn wetten op te stellen. Let wel, die hele rechterterm, inclusief de u2, is klein, maar dat hoeft niet te gelden (en dat geldt ook niet) voor het getal 3GM/c2 dat ervoor staat. Ik ga daarom vergelijking (1) wat verbouwen. Ik stel:



Waardoor (1) overgaat in:



Vervolgens stel ik:





Op deze manier weet ik zeker dat λ een klein getalletje is. Vergelijking (6) wordt dan:



Vervolgens stel ik dat mijn oplossing eruit moet zien als volgt:



Ik besluit voor een eerste orde benadering te gaan:



En dit vul ik in in vergelijking (8):



Zoals gezegd ga ik voor een eerste orde benadering en daarom ga ik die termen met λ2 en λ3 verwaarlozen:



Dit resultaat ga ik een beetje reorganiseren:



En vervolgens deel ik het op in twee vergelijkingen, termen zonder λ en termen met λ:





De oplossing van (14a) is simpel, dat is de klassieke Kepler-oplossing:



En deze oplossing vul ik in in vergelijking (14b):



Vergelijking (16) ga ik opdelen in drie vergelijkingen:







De oplossing van (17a) is simpel, dat is weer de klassieke Kepler-oplossing:



Voor de andere twee is het een beetje zoeken en aftasten (zoals meestal met differentiaalvergelijkingen), maar de algemene oplossing van:



Is dit:



Bewijs:







En de algemene oplossing van:



Is dit:



Bewijs:







De oplossing van (17b) wordt daarmee:



En de oplossing van (17c) wordt:



De totale oplossing van u1 is de som van (18), (25) en (26):



En de totale oplossing van u (zie vergelijking (10)) is de som van (15) en (27):



De afstand r is de reciproke hiervan:



Nu kunnen we terug naar de beginvraag van deze pagina: wat is de precessie van het perihelium? In het perihelium is r minimaal en dus de noemer van vergelijking (29) maximaal. Ik neem die noemer daarom even apart onder de loep:



Voor het maximaal zijn van deze noemer spelen de constanten geen rol en die kunnen er dus uit:



Die term met λ cos φ is gemiddeld over een hele omloop van de planeet nul en draagt daarom ook niets bij. En die term met cos2 φ is gemiddeld over een hele omloop van de planeet constant en draagt daarom op de lange duur ook niets bij. Weg ermee:



En ik kan natuurlijk een factor e uitdelen:



Hetgeen ik ook kan schrijven als:



Omdat λφ heel klein is geldt bij zeer goede benadering:





Hiermee kan ik (34) schrijven als volgt:



Met behulp van de som-/verschilformules uit de goniometrie wordt dit:



De cosinus is maximaal bij veelvouden van 2π:



Oftewel:

Ik ga gebruik maken van de reeksontwikkeling van Brook Taylor, een Engels wiskundige. De volgende reeks komt mij nu goed van pas:

Hiermee kan ik vergelijking (39) anders opschrijven:



Ik beperk mij weer tot de eerste orde term:



Hetgeen ons uiteindelijk brengt bij de precessie, de rechterterm van (42):



Met gebruikmaking van (7b) wordt dit:



De precessie per omloop is dan:



Wanneer ik dan tenslotte de derde wet van Kepler, die het verband geeft tussen omlooptijd en halve lange baanas, erin betrek:

Dan kom ik precies bij het resultaat zoals Einstein het iets meer dan honderd jaar geleden ook vond (maar dan wel op een hele andere manier):



Passage uit het originele artikel van Einstein over de algemene relativiteitstheorie

De planeetbanen blijken geen gesloten ellipsen te zijn, maar er zit een minimale draaiing in de baan zelf waardoor de planeetbaan de vorm van een rozet aanneemt (sterk overdreven getekend op het plaatje hiernaast, want de precessie is in werkelijkheid (veel) minder dan de diameter van de planeet). De blauwe punten zijn de periheliumpassages en die zijn het ijkpunt geworden voor deze relativistische precessie (terwijl je net zo goed over apheliumprecessie kunt spreken of over de precessie van ieder willekeurig ander punt van de planeetbaan, maar dat terzijde).

Het minieme verschil tussen ‘Newtonse zwaartekracht’ en de werkelijkheid werd in 1855 ontdekt door de Fransman Urbain Le Verrier voor de planeet Mercurius. Weliswaar is het verloop van de periheliumprecessie van Mercurius nog geen dertig kilometer per mercuriusjaar, en daardoor nauwelijks waarneembaar, maar een mercuriusjaar duurt minder dan drie maanden op Aarde waardoor per aardejaar het verloop al ruim honderd kilometer is (vier maal zoveel) en per eeuw ruim tienduizend kilometer (honderd maal zoveel). Dit laatste viel ook in de negentiende eeuw al op, om te beginnen dus door Le Verrier. Voor de planeet Mercurius berekende Le Verrier een afwijking van 38 boogseconden per eeuw en hij ging er van uit dat een nog onontdekte planeet tussen Mercurius en de Zon deze afwijking veroorzaakte. Deze planeet kreeg alvast een naam, Le Verrier doopte de planeet Vulcanus, maar ondanks alle inspanningen werd de planeet nooit gevonden.