Relativiteitstheorie, vraagstuk 32

Onderzoek de cirkelvormige banen om een centrale massa, uitgaande van de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom die puntmassa.
Dit is de differentiaalvergelijking van een geodetische lijn rondom een puntmassa (voor de afleiding zie het vorige vraagstuk):



Waarbij voor u geldt:



In het geval van een cirkelvormige baan geldt per definitie r = constant, en omdat u de reciproke waarde van r is, is u eveneens constant. Dit heeft tot gevolg dat de eerste afgeleide en tweede afgeleide nul zijn:





Waardoor vergelijking (1) vereenvoudigt tot:



Vervolgens vul ik vergelijking (2) hierin in:



Ik heb nu een tweedegraads vergelijking en dat vraagt er natuurlijk om om de abc-formule in te zetten om r op te lossen:

Die rechterterm onder de wortel hebben we te danken aan de rechterterm van vergelijking (1). Deze term is klein en komt in de ‘Newtonse mechanica’ helemaal niet voor. Wanneer ik die term verwaarloos volgt uit (7) het klassieke resultaat:

Omdat die rechterterm onder de wortel klein is kan ik vergelijking (7) bij zeer goede benadering schrijven als volgt:



De twee oplossingen worden dan:

Van de bovenstaande twee oplossingen is de linker het klassieke resultaat, dat is niet verrassend, maar er is een tweede oplossing en dat is nieuw. Voor de horizon van een zwart gat geldt de Schwarzschild-straal:

De rechter oplossing van vergelijking (10) kan ik daarmee uitdrukken in Schwarzschild-stralen:



Stel je bent met een ruimteschip naar een zwart gat gereisd en je wilt dat fenomeen gaan onderzoeken. Je weet dat je bij de horizon vandaan moet blijven, want de horizon is een point-of-no-return en als je daar doorheen gaat dan kom je nooit meer thuis. Vergelijking (12) suggereert dat indien je je ruimteschip in een baan om het zwarte gat parkeert op anderhalve Schwarzschild-straal van de singulariteit, dat je dan rustig je raketmotor uit kunt zetten (net als een ruimteschip in een baan om de Aarde) en aan je onderzoek kunt gaan beginnen. Helaas, niets is minder waar.

Vergelijk het met Lagrange-punten. Iedere ster-planeet combinatie heeft vijf van zulke punten. In het plaatje hieronder zijn ze ingetekend (niet op schaal).



Figuur 1: de Lagrange-punten
In deze vijf punten zijn zwaartekracht en centripetale kracht (= middelpuntvliedende kracht) met elkaar in evenwicht. Maar dat is niet voldoende.

Voor de stabiliteit van de Lagrange-punten is het tevens noodzakelijk dat ze in potentiaalputten liggen. Het volgende plaatje is een potentiaalplot.


Figuur 2: 2-dimensionale potentiaalplot van de Lagrange-punten
De kleuren zijn een beetje ongelukkig gekozen, want in tegenstelling tot wat je zou verwachten betekent rood = okee en blauw = niet okee. Het volgende plaatje maakt het waarschijnlijk duidelijker.


Figuur 3: 3-dimensionale potentiaalplot van de Lagrange-punten

In principe zijn alle Lagrange-punten niet stabiel, omdat ze op potentiaaltoppen liggen en niet in potentiaalputten! De punten L4 en L5 worden gered door de Coriolis-kracht die ervoor zorgt dat objecten in die punten na kleine verstoringen terugkeren naar hun uitgangspositie (in deze punten treffen we dan ook bij de meeste planeten objecten aan, vooral bij de planeet Jupiter is het ‘druk’). De Lagrange-punten worden gebruikt om ruimtesondes te plaatsen, maar regelmatig gebruik van de stuurraketjes is dan wel een vereiste.

Wat heeft dit nou allemaal te maken met de parkeerbaan om een zwart gat? Door vergelijking (6) te integreren krijg ik de potentiaalfunctie:



Figuur 4: potentiaalfunctie

Een derdegraads functie ziet er doorgaans uit zoals op het plaatje hiernaast te zien is. Wanneer ik wil weten waar het minimum en maximum liggen zal ik moeten differentiëren, hetgeen mij weer brengt bij vergelijking (6). Die moet ik dan vervolgens oplossen en dat brengt mij bij het resultaat volgens vergelijking (10). Met andere woorden, de oplossing r ligt op een potentiaaltop en de oplossing r+ ligt in een potentiaalput (zie figuur 4 hieronder). Conclusie: r+ is stabiel en r niet! Wanneer je je ruimteschip parkeert op anderhalve Schwarzschild-straal van de singulariteit en je gaat vervolgens een tukkie doen dan kom je voor een hele vervelende verrassing te staan: je ruimteschip valt intussen door de horizon.



Figuur 5: potentiaalfunctie voor circulaire banen om een centrale massa


Figuur 6: potentiaalfunctie op de
grens van wel/niet stabiel

Het grensgeval treedt op wanneer potentiaaltop en potentiaalput samenvallen, oftewel wanneer de discriminant van vergelijking (7) nul wordt:

Indien de discriminant nul is dan wordt vergelijking (7):



Hierin vul ik het resultaat van vergelijking (14) in:



Je moet dus op minstens drie Schwarzschild-stralen van de singulariteit blijven (minstens twee Schwarzschild-stralen van de horizon) om je ruimteschip veilig te parkeren. Wanneer je op drie Schwarzschild-stralen van de singulariteit bent dan ben je op het randje van wel/niet stabiel.


Figuur 7: stabiele - en instabiele circulaire banen om een centrale massa
Stel dat het zwarte gat een massa heeft van één zonsmassa. Wanneer we de massa van de Zon invullen in vergelijking (11) dan levert dat een Schwarzschild-straal op van iets minder dan drie kilometer. Indien je je ruimteschip parkeert op een afstand van 10 Rs (dat klinkt op zich heel veilig) dan ben je 27 kilometer verwijderd van de horizon van het zwarte gat terwijl je een snelheid hebt van meer dan 0.3 c. Eén stuurfoutje en je verdwijnt binnen een milliseconde door de horizon. Neem geen risico en parkeer je ruimteschip nog een eind verderop.