Relativiteitstheorie, vraagstuk 30

Leid de Reissner-Nordström-oplossing af.

Mijn vertrekpunt voor deze afleiding is de Schwarzschild-Droste-oplossing:



Indien de centrale massa elektrisch geladen is, met een lading Q, dan ontstaat er een elektrisch veld:



De energie-inhoud van een elektrisch veld is (per volume-eenheid):



Ik vul vergelijking (2) in in vergelijking (3):



Om de totale energie van dit elektrische veld te berekenen zal ik moeten integreren vanaf r tot aan oneindig:



Zoals je ziet ben ik uitgegaan van bolcoördinaten, want dat is in deze situatie verreweg het handigst. Een infinitesimaal volume-element in bolcoördinaten is:



Hiermee kan ik de integraal uitrekenen:

Volgens de wereldberoemde formule van Einstein zijn energie en massa equivalent:

In combinatie met vergelijking (7) wordt dit:



Deze massa is een correctie op de massa in de Schwarzschild-Droste-oplossing:



De logische vraag is natuurlijk waarom ik hier een minteken gebruik in plaats van een plusteken? Dat komt omdat twee gelijke massa’s elkaar aantrekken en twee gelijke elektrische ladingen elkaar afstoten.

Dit is de zwaartekrachtwet van Newton:

En dit is de wet van Coulomb die de elektrische kracht beschrijft:

Twee elektrische ladingen kunnen elkaar weliswaar ook aantrekken, maar dan moet er sprake zijn van een negatieve lading en een positieve lading. In dat geval is er wel sprake van aantrekking, maar getalsmatig verschijnt er dan een minteken in de vergelijking van de elektrische kracht terwijl er bij de vergelijking van de zwaartekracht een plusteken staat. Met andere woorden, óf de zwaartekracht is aantrekkend en de elektrische kracht afstotend, óf de zwaartekracht is positief en de elektrische kracht negatief. Hoe je het ook wendt of keert, ze gaan wiskundig altijd precies de andere kant op.

In de afleiding van de Schwarzschild-Droste-oplossing kun je zien dat die via de potentiaalfuncties loopt, en dat de zwaartekracht en de elektrische kracht wiskundig altijd precies de andere kant op gaan blijft je achtervolgen. Er zit altijd een minteken tussen beide! Dit is de reden van het minteken in vergelijking (10).

En vergelijking (10) vul ik in in de Schwarzschild-Droste-oplossing. Zo arriveren we, relatief simpel, bij de Reissner-Nordström-oplossing:

En de metrische tensor ziet er dan zo uit, voor wat we tegenwoordig een zwart gat met elektrische lading noemen: