Relativiteitstheorie, vraagstuk 29

Leg het equivalentieprincipe uit.
Het bijzondere van zwaartekracht is dat je zwaartekracht niet kunt voelen. Inderdaad, zwaartekracht kun je niet voelen. Wanneer ik deze zin uitspreek dan zijn de ja-maar’s over het algemeen niet van de lucht.

“Ik voel toch dat de zwaartekracht mij op deze stoel gedrukt houdt” zeggen mensen bijvoorbeeld. Of ze voelen dat hun voeten op de grond staan of op een andere manier ervaren ze het contact met de Aarde. Het simpele antwoord is: je voelt inderdaad de stoel of de vloer of het wegdek, maar je voelt geen zwaartekracht. Dit klinkt wellicht heel flauw maar dat is toch echt datgene wat je werkelijk voelt. Als je op een stoel zit dan voel je de stoel tegen je zitvlak drukken. De zwaartekracht trekt je omlaag waardoor je de zitting van de stoel ervaart. Mensen noemen ook wel dat na verloop van tijd hun armen moe worden wanneer ze die horizontaal houden, vergelijkbaar met de benen van de meneer op het plaatje hiernaast, en daaruit concluderen ze dan dat er zwaartekracht aanwezig is. De armen worden na een tijdje moe, en bij de meneer hiernaast worden de benen na een tijdje moe.

Echter, ik kan ook een andere argumentatie gebruiken om deze gevoelens te verklaren. Ik kan ook stellen dat de stoel omhoog beweegt en daardoor druk op jouw lichaam uitoefent. Indien er onder de stoel kleine raketmotoren gemonteerd zitten die de stoel met jou daarop omhoog voortstuwen dan zul je precies dezelfde sensatie voelen als wanneer er zwaartekracht in het spel zou zijn die jou op de stoel gedrukt houdt (ervan uitgaande dat de raketmotoren de juiste afstelling hebben, overeenkomend met de kracht die de zwaartekracht uitoefent, en volledig geruisloos zijn). En de raketten onder de stoel zullen er ook voor zorgen dat na een tijdje gespreide armen moe worden. En de meneer op het plaatje hiernaast zal na een tijdje zijn benen weer laten zakken, omdat ze moe worden. Alles voltrekt zich op dezelfde manier als bij het vorige plaatje waar wel zwaartekracht in het spel is.

En hetzelfde geldt voor een flat. Wanneer je op een flat staat voel je het dak van de flat onder je voeten, net zoals Lambik op het plaatje hiernaast. De zwaartekracht trekt hem omlaag waardoor hij het dak van de flat ervaart.

Echter, ook hier kan ik een andere argumentatie gebruiken om zijn gevoel te verklaren. Ik kan ook stellen dat de flat omhoog beweegt en daardoor druk op zijn lichaam uitoefent. Wanneer er onder de flat een stel gigantische raketmotoren gemonteerd zitten dan zal hij, staande op het dak van de flat, dezelfde sensatie voelen als in het geval dat de zwaartekracht hem naar beneden ‘trekt’ en hem stevig op het dak van de flat laat staan. Ook hier weer zal er geen onderscheid te maken zijn tussen de-flat-staat-op-Aarde en de-flat-heeft-raketmotoren.

En indien je van een flat afspringt (niet proberen hoor!) dan voel je helemaal niets! Je voelt wel het angstzweet op je rug staan omdat je weet dat je gaat sterven maar verder voel je absoluut niets.


Dit besef had Einstein honderd jaar geleden ook en hij noemde het later “de gelukkigste gedachte van mijn leven”.

Ook hier blijft de overeenkomst bestaan met een flat die niet op de Aarde staat, maar waar raketmotoren onder gemonteerd zitten. Op het vorige plaatje blijft de flat staan (volgens Lambik) en valt hij richting de Aarde, en op het plaatje hiernaast hangt hij maar wat rond (volgens Lambik) en suist de flat langs hem heen. Maar puur in het moment beschouwd (dus niet naar de gevolgen kijkend dat Lambik in het ene geval te pletter valt op het aardoppervlak en in het tweede geval niet) zijn beide situaties voor hem identiek en voelt hij helemaal niets (zijn angsten tel ik niet mee).

De vallende/zwevende Lambik heeft in beide gevallen dezelfde ervaring. Weliswaar met verschillende vooruitzichten, maar in het moment maakt het helemaal niets uit.

Iemand die ergens ver weg in de ruimte, ver van alle planeten en sterren en dus ver weg van alles wat zwaartekracht veroorzaakt, rondzweeft voelt exact hetzelfde als iemand die van een flat afspringt en onder invloed van de zwaartekracht richting het aardoppervlak suist. In beide gevallen voelt hij/zij helemaal niets, nul-komma-nul.

Of je op een stoel zit die omhoog versneld wordt door raketmotoren die onder de stoel gemonteerd zijn of dat je op een stoel gedrukt wordt door zwaartekracht is in de praktijk niet van elkaar te onderscheiden. Vooropgesteld natuurlijk dat we te maken hebben met ideale raketmotoren die geen geluid maken en geen trillingen veroorzaken of andere bijeffecten hebben die hun aanwezigheid zouden verraden. En de kracht die de raketmotoren uitoefenen moet natuurlijk zo ingesteld worden dat die precies overeenkomt met de zwaartekracht daar ter plaatse. Maar afgezien van dit soort praktische dingetjes zijn zwaartekracht en versnelling absoluut niet van elkaar te onderscheiden. Met andere woorden, versnelling en zwaartekracht zijn gelijkwaardig en daarom is dit de geschiedenis en de natuurkundeboeken ingegaan als het equivalentieprincipe (equivalent betekent gelijkwaardig).

Wanneer je op een flat staat of op een stoel zit dan voel je indirect de zwaartekracht, maar dit zou ook de versnelling van een of ander aandrijfsysteem kunnen zijn dat onder de flat of stoel gemonteerd zit. Spring je van een flat af of ‘hang’ je ergens ver weg in de ruimte rond dan voel je helemaal niets (afgezien van emoties zoals doodsangst of verlatenheid) en kun je stellen dat er helemaal geen versnelling is. Zwaartekracht en versnelling zijn verschillende zijden van dezelfde munt, ze zijn volledig gelijkwaardig. Deze gelijkwaardigheid van zwaartekracht en versnelling heet het equivalentieprincipe.

Hoe pakt dit wiskundig uit? In het geval dat de meneer op een stoel zit die op de Aarde staat, of dat Lambik op een flat staat die op de Aarde staat is er echte zwaartekracht, en die kunnen we beschrijven met de zwaartekrachtwet van Newton (hierin is de grote M de Aarde en de kleine m de meneer in de stoel of Lambik of...):



Ik heb hier de kleine m ook een index z meegegeven om aan te geven dat het hier om de invloed van de zwaartekracht gaat. Wanneer de raketten aan het werk zijn dan is de eerste wet van Newton in actie:



Ik heb hier de index v voor versnelling gebruikt. Beide krachten, volgens vergelijking (1) en volgens vergelijking (2), zijn gelijk aan elkaar:



De versnelling die de raketten genereren moet uiteraard zo afgesteld worden dat die overeenkomt met de g-kracht daar ter plaatse:



Waardoor vergelijking (3) wordt:



De mz is de massa die onderhevig is aan zwaartekracht en dat noemen we de zware massa of heel netjes de gravitationele massa. En mv is de massa die onderhevig is aan versnelling en dat noemen we de trage massa of heel netjes de inertiële massa. De verhouding van beiden is één, en dit moet dan uiteraard altijd gelden, want anders ligt het hele equivalentieprincipe in duigen. Dus niet dat het verschillend is voor gas of vloeistoffen, of anders voor goud of ijzer, of anders voor vrouwen of mannen. Van ieder object moet altijd de verhouding gravitationele massa/inertiële massa exact gelijk zijn aan één.

Dit impliceert ook dat de g-kracht die op een voorwerp inwerkt altijd gelijk is. Dus niet dat het verschillend is voor gas of vloeistoffen, of anders voor goud of ijzer, of anders voor vrouwen of mannen. Indien mieren een andere g-kracht zouden ondervinden dan spinnen, dan zou er in een mier iets moeten zitten dat een andere verhouding gravitationele massa/inertiële massa heeft dan in een spin. Kortom, het equivalentieprincipe staat of valt met de verhouding gravitationele massa/inertiële massa en die moet altijd één zijn.

Het was Galileï die vier eeuwen geleden al experimenten uitvoerde hieromtrent door voorwerpen vanaf de toren van Pisa te laten vallen en te kijken of er verschil was in het tijdstip dat ze de grond raakten.

Einstein refereert in zijn artikel uit 1916 naar de Hongaarse wetenschapper Loránd Eötvös. Middels een ingenieus experiment heeft Eötvös de valversnelling heel nauwkeurig vergeleken voor verschillende voorwerpen: tot op negen cijfers achter de komma! Hij bevestigde daarmee de juistheid van de ontdekking van Galileï.

Eén van de astronauten van de Apollo 15, David Scott, heeft de gelijkheid van de valversnelling in 1971 gedemonstreerd op de Maan. De Maan heeft geen atmosfeer en daar is dus ook geen luchtweerstand. Scott liet gelijktijdig een hamer en een veer vallen, en de hamer en de veer raakten gelijktijdig de grond!

Er is een lange lijst te maken van experimenten die het equivalentieprincipe aan de tand voelen. De stand per vandaag is dat het principe tot op minstens vijftien cijfers achter de komma klopt. Blijkt het op enig moment bij de zoveelste decimaal niet te kloppen dan lees je dat gegarandeerd in de krant (of op Facebook of waar dan ook)!