Relativiteitstheorie, vraagstuk 28

Leid de Schwarzschild-Droste-oplossing af.

De veldvergelijkingen van Einstein, die het uiteindelijke resultaat waren van jarenlang hard werken aan de algemene relativiteitstheorie, zien er op het eerste gezicht bedrieglijk simpel uit:

Helaas, niets is minder waar. Omdat de indices μ en ν allebei vier verschillende waarden (x, y, z en t) aan kunnen nemen kom je uiteindelijk op tien vergelijkingen die alle tien opgelost moeten worden. De vier waarden x, y, z en t staan voor de drie ruimtelijke dimensies breedte, lengte (of diepte) en hoogte en t is de vierde dimensie, de tijd. Daarnaast zitten er ‘gewone functies’ in de vergelijkingen, de afgeleiden van die functies en ook daar weer de afgeleiden van. Met andere woorden, het zijn tweede orde differentiaalvergelijkingen. En wanneer je de vergelijkingen helemaal uitschrijft dan kun je ook nog eens met gemak honderd pagina’s vullen. Het moge duidelijk zijn: de veldvergelijkingen van Einstein zijn extreem moeilijk op te lossen.

Dit is de metrische tensor:



De uitdaging is om zestien functies te vinden en die op de zestien posities in bovenstaande tensor te zetten, zodanig dat aan de veldvergelijkingen wordt voldaan. Het goede nieuws is dat de metrische tensor symmetrisch is, dat betekent dat iedere term gμν gelijk is aan iedere term gνμ. Daarmee zijn de zes componenten van de metrische tensor die onder de hoofddiagonaal (de diagonaal die van linksboven naar rechtsonder loopt) liggen gelijk aan de zes componenten die boven die diagonaal liggen. Vandaar dat er per saldo ‘slechts’ tien vergelijkingen zijn op te lossen.

Om op zoek te gaan naar een oplossing is het goed om vereenvoudigingen aan te brengen. De tensor T die aan de rechterkant staat van de veldvergelijkingen is de energietensor en geeft aan hoeveel en waar en hoe de energie zich in de ruimte bevindt. Schwarzschild ging uit van een puntmassa (een massa met afmetingen nul) in de oorsprong en voor de rest een ruimte die helemaal leeg is. Dat maakt het leven al een stuk simpeler, want dan kunnen we stellen dat T = 0 en nemen de veldvergelijkingen deze vorm aan:



Vervolgens is het goed om maximale symmetrie aan te brengen. Schwarzschild ging uit van bolsymmetrie en stelde dat in alle richtingen de ruimte er hetzelfde uitzag en dat er geen rotatie was of welke beweging in de tijd dan ook. Oftewel, een volledig statische situatie. In een dergelijk geval zal er geen ‘kruisbestuiving’ plaatsvinden tussen de dimensies x, y, z en t en zijn alle componenten van de metrische tensor die niet op de hoofddiagonaal liggen gelijk aan nul:



Binnen de speciale relativiteitstheorie ziet de metrische tensor er altijd zo uit, de componenten zijn geen functies maar constanten en de ruimte is ‘vlak’ (zoals we dat noemen):



En het interval heeft dan deze vorm (ds is de infinitesimale afstand tussen twee punten in de vierdimensionale ruimtetijd en is gelijk voor iedere waarnemer):



Maar met de metrische tensor volgens vergelijking (4) wordt dit:



Omdat we een bolsymmetrische situatie hebben ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten:



Laten we eens even naar de determinant van de metrische tensor gaan kijken. De determinant van een 4 × 4 tensor is:



Omdat in dit geval alle componenten die niet op de hoofddiagonaal liggen nul zijn worden alle termen van de determinant, op één na, nul en blijft alleen de eerste term over:



Zijnde het spoor van de tensor, het product van alle termen op de hoofddiagonaal. In het artikel van Einstein waarin hij de algemene relativiteitstheorie uit de doeken doet gaat hij er consequent van uit dat de determinant van de metrische tensor gelijk is aan −1. Dit doet niets af aan de essentie van de veldvergelijkingen en maakt het wiskundige leven een stuk simpeler.

Nu ga ik even een zijweggetje in. Vanuit de speciale relativiteitstheorie kennen we de Lorentz-factor γ:

Vervolgens beschouw ik een draaimolen:
Deze draaimolen kan ik volgens het equivalentieprincipe op twee manieren beschouwen. Volgens de eerste, en meest normale, beschouwing zitten deze mensen gewoon in een draaimolen die een versnellingsveld genereert en is het de middelpuntvliedende kracht van de draaimolen die hen naar buiten slingert:

Echter, het equivalentieprincipe zegt dat versnelling en zwaartekracht twee zijden van dezelfde munt zijn en daarom is de andere mogelijke beschouwing dat hier zwaartekracht aan het werk is. Dus niks middelpuntvliedende kracht, maar de draaimolen genereert zwaartekracht die de mensen in de gondels naar buiten duwt. Zwaartekracht is altijd aantrekkend dus we moeten daarom even een minteken inbouwen in de zwaartekrachtwet van Newton (om de zwaartekracht afstotend te maken, de mensen worden immers naar buiten geslingerd, en de hoofdletter M is de centrale massa):



Een zwaartekrachtveld is een conservatief veld, dit betekent dat het niet uitmaakt via welke route je van een punt A naar een punt B beweegt binnen dat veld, want iedere route kost exact evenveel arbeid. Voor een conservatief veld kun je daarom een potentiaalfunctie uitrekenen en de arbeid om van A naar B te komen volgt dan simpelweg uit het verschil tussen de beide potentialen en de route die genomen wordt doet er helemaal niet toe. De potentiaalfunctie vinden we door het veld te integreren naar de afstand.

Dit is het versnellingsveld van de draaimolen (vergelijking (12) gedeeld door de massa m):



De integraal hiervan is (waarbij ik gebruik maak van v = ωr, want de hoekfrequentie ω is overal in het veld gelijk, en kan ik als constante voor het integraalteken halen, maar de snelheid v niet):



Dit is het zwaartekrachtveld van de draaimolen (vergelijking (13) gedeeld door de massa m):



De integraal hiervan is:



Het equivalentieprincipe dicteert dat beide potentiaalfuncties aan elkaar gelijk gesteld mogen worden:



En deze v2 vul ik in in de Lorentz-factor van vergelijking (11):



Terwijl vergelijking (11) de ‘gewone’ snelheids-γ beschrijft heb ik nu ook een zwaartekracht-γ!

Nu ga ik alles bij elkaar pakken. Vergelijking (8) beschrijft het interval volgens de algemene relativiteitstheorie:

Met de uitspraak van Einstein in gedachten om de determinant ongewijzigd te laten doe ik het volgende, ik stel g11 gelijk aan de zojuist gevonden zwaartekracht-γ (in het kwadraat) of met andere woorden: ik laat de zwaartekracht-γ inwerken op mijn ruimtelijke dimensies die samenkomen in de variabele r. En g00 stel ik gelijk aan de reciproke waarde van γ (in het kwadraat) zodat de determinant dezelfde waarde houdt, of met andere woorden: ik laat γ omgekeerd evenredig inwerken op de tijd t (met een minteken uiteraard). De componenten g22 en g33 stel ik simpelweg op één. Ziehier de Schwarzschild-Droste-oplossing:



En de metrische tensor ziet er dan zo uit:



In november 1915 maakt Einstein zijn vergelijkingen wereldkundig en reeds in december van datzelfde jaar vindt de Duitse militair Karl Schwarzschild zijn oplossing en schrijft daarover terstond een brief naar Einstein:
Vertaling van de brief van Schwarzschild
Duits Nederlands

22.XII.15.

Verehrter Herr Einstein!

XXXUm mit Ihrer Gravitationstheorie vertraut zu werden, habe ich mich näher mit dem von Ihnen in der Arbeit über das Merkurperihel gestellte und in 1. Näherung gelöste Problem beschäftigt. Zunächst machte mich ein Umstand sehr konfus. Ich fand für die erste Näherung der Koeffizienten gμν auβer ihrer Lösung noch folgende zweite:



XXXDanach hätte es auβer Ihrem α noch eine zweite gegeben und das Problem wäre physikalisch unbestimmt. Daraufhin machte ich einmal auf gut Glück den versuch einer volständigen Lösung. Eine nicht zu groβe Rechnerei ergab folgendes Resultat: Es gibt nur ein Linienelement, das Ihre Bedingungen 1) bis 4) nebst Feld- und Determinantengl. erfüllt und im Nullpunkt und nur im Nullpunkt singulär ist.
XXXSei:





dann lautet das Linienelement:



R, θ, φ sind keine „erlaubten“ Koordinaten, mit denen man die Feldgleichungen bilden dürfte, weil sie nicht die Determinante 1 haben, aber das Linienelement schreibt sich in ihnen am schönsten.
XXXDie Gleichung der Bahnkurve bleibt genau die von Ihnen in erster Näherung erhaltene (11), nur muβ man unter x nicht 1/r, sondern 1/R verstehen, was ein Unterschied von der Ordnung 10−12 ist, also praktisch absolut gleichgültig.
XXXDie Schwerigkeit mit den zwei willkürlichen Konstanten α und β, welche die erste Näherung gab, löst sich dahin, daβ β einen bestimmten Wert von der Ordnung α4 haben muβ, so wie α gegeben ist, sonst würde die Lösung bei Fortsetzung der Näherungen divergent.
XXXEs ist also auch die Eindeutigkeit Ihres Problems in schönster Ordnung.
XXXEs ist eine ganz wunderbare Sache, daβ von einer so abstrakten Idee aus die Erklärung der Merkur-anomalie so zwingend herauskommt.
XXXWie Sie sehen, meint es der Krieg freundlich mit mir, indem er mir trotz heftigen Geschützfeuers in der durchaus terrestrischer Entfernung diesen Spaziergang in dem von Ihrem Ideenlande erlaubte.

22.XII.15.

Geachte heer Einstein!

XXXOm met uw gravitatietheorie vertrouwd te raken, heb ik mij nader bezig gehouden met datgene wat u stelt in uw werk over het Mercuriusperihelium en het in eerste benadering opgeloste probleem. Aanvankelijk bracht één aspect mij zeer in verwarring. Ik vond voor de eerste benadering van de coëfficiënten gμν behalve uw oplossing nog de volgende tweede:



XXXDaarna was er behalve uw α nog een tweede en het probleem zou daardoor fysiek onbepaald zijn. Vervolgens deed ik eens op goed geluk een poging tot een exacte oplossing. Een niet zo omvangrijke berekening leverde het volgende resultaat: er is slechts één lijnelement, dat aan uw voorwaarden 1) tot 4) naast Veld- en Determinantenvergelijking voldoet en in de oorsprong, en alleen in de oorsprong, singulier is.
XXXDoor te stellen:





dan wordt het lijnelement:



R, θ, φ zijn geen „toegestane“ coördinaten, waarmee men de veldvergelijkingen zou mogen opstellen, omdat ze niet de determinant 1 hebben, maar het lijnelement laat zich daarmee het mooist opschrijven.
XXXDe vergelijking van de baankromme blijft precies zoals de door u in eerste benadering gevonden (11), alleen moet men voor x niet 1/r maar 1/R lezen, hetgeen een verschil in de orde van grootte van 10−12 is, dus praktisch absoluut verwaarloosbaar.
XXXHet probleem met de twee willekeurige constanten α en β, die uit de eerste benadering volgden, lost zich als volgt op, dat β een bepaalde waarde van de orde α4 moet hebben, zodra α bekend is, omdat anders de oplossing bij volgende benaderingen divergent zou worden.
XXXAldus is ook de eenduidigheid van uw probleem helemaal in orde.
XXXHet is een bijzonder wonderbaarlijk iets, dat vanuit een zo abstract idee de verklaring van de Mercurius-afwijking zo dwingend naar voren komt.
XXXZoals u ziet, is de oorlog mij goedgezind, aangezien hij het mij toestond om ondanks het hevige kanongebulder in de verte een wandeling te maken in uw ideeënlandschap.
Hierboven zie je de brief die Schwarzschild aan Einstein stuurde in december 1915. Zoals hij in de laatste zin aangeeft lijkt de oorlog (de Eerste Wereldoorlog) het goed met hem voor te hebben, want “ondanks het hevige kanongebulder staat de oorlog het mij toe om een wandeling te maken in uw ideeënlandschap”. Helaas bleek de oorlog Karl Schwarzschild minder goed gestemd dan hij dacht, want in mei 1916 sterft hij aan een ziekte die hij in de loopgraven in Rusland had opgedaan. Zijn naam leeft onder andere voort als de eerste mens die een exacte oplossing vond voor de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie én, daaruit voortkomend, de Schwarzschild-straal.

En waarom spreek ik hier over de Schwarzschild-Droste-oplossing en niet over de Schwarzschild-oplossing? Omdat onze landgenoot Johannes Droste, onafhankelijk van Schwarzschild, dezelfde oplossing vond rond dezelfde tijd, maar helaas later met zijn oplossing in de openbaarheid kwam dan Schwarzschild. In mei 1916 publiceert Droste zijn oplossing en in december 1916 komt hij met een uitvoerige dissertatie.

De oplossing van Schwarzschild-Droste beschrijft de ruimte en de tijd rondom een puntmassa in de oorsprong, oftewel de singulariteit van een zwart gat (maar dat wist men toen natuurlijk nog niet). Deze oplossing loopt wiskundig op de klippen waar de noemer van γ nul wordt:

Deze afstand r is de geschiedenis ingegaan als de Schwarzschild-straal, maar tegenwoordig noemen we dit doorgaans de horizon van een zwart gat.