Relativiteitstheorie, vraagstuk 26

Kun je, met het juiste aandrijfmechanisme, in theorie binnen een mensenleven het hele heelal doorkruisen?
Iedereen die natuurkunde heeft gehad op het voortgezet onderwijs kent waarschijnlijk wel onderstaande tabel:
Afstand = constant Snelheid = constant Versnelling = constant
Afstand
Snelheid
Versnelling
Tabel 1: klassieke mechanica

Dit zijn de regels uit het tijdperk voordat Einstein op het toneel verscheen en wat we sindsdien aanduiden met de klassieke mechanica.

In een eerder vraagstuk heb ik de vergelijkingen voor afstand, snelheid, versnelling en tijd afgeleid met daarin de relativistische gevolgen van versnelling. Daaruit is deze tabel voortgekomen (W1 is de toeschouwer, W2 is degene die versnelt):
W1 W2
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tijd
Tabel 2: bewegingsparameters bij constante versnelling
Voor kleine waarden van t lopen de klassieke mechanica en de relativistische vergelijkingen nog uitstekend met elkaar in de pas en kom je ook volgens tabel 2 uit op getallen die overeenkomen met de rechterkolom van tabel 1. Maar naarmate het versnellen voortduurt verschijnen er hele antwoorden waarbij die volgens tabel 2 de juiste zijn.

Stel dat je op weg gaat in een ruimtevaartuig dat een versnelling ontwikkelt van 1 g = 9.8 m/s2, dan voelt het op reis zijn net alsof je je op het aardoppervlak bevindt. Ga je op een weegschaal staan dan geeft die keurig hetzelfde aan als voor je vertrek, toen je nog vaste grond onder je voeten had, en wanneer je naar bed gaat dan lig je net zo lekker als thuis in je eigen bed. Afgezien van het feit dat je leefruimte nu veel beperkter is merk je verder helemaal niets en gaat het leven in principe gewoon verder (maar je bent wel ver van huis, dus effe bij iemand een bakkie doen of bellen gaat niet meer).

Het wordt een lange reis. Je gaat aan boord op 25-jarige leeftijd, samen met je partner, en dertig jaar later komen jullie weer terug, 55 jaar oud. Hoe ver hebben jullie kunnen komen en hoe is het met de achterblijvers?

Het onvoorstelbare antwoord is dat jullie in die tijd ruimschoots het hele zichtbare heelal hebben kunnen doorkruisen, meer dan een biljoen lichtjaren! En de achterblijvers zijn verdwenen, want voor hen zijn er intussen meer dan een biljoen jaren verstreken. De mensen, de Aarde, de Zon, het is allemaal weg, gerecycled door Moeder Natuur.

In figuur 1 staan respectievelijk de afgelegde afstand (x, in lichtjaren), de snelheid (v, ten opzichte van de lichtsnelheid) en de tijd (t, in jaren) uitgezet aan het thuisfront als functie van de verstreken tijd (t', in jaren) aan boord van het ruimteschip. Zoals je ziet aan de schaalverdeling bij de horizontale as is dit het eerste jaar van de reis.


Figuur 1
Na 5 jaar op reis te zijn ziet het plaatje er uit zoals hieronder. De snelheid is na ruim twee jaar nagenoeg gelijk aan de lichtsnelheid. De afgelegde afstand en de snelheid heb ik op een logaritmische schaal afgedrukt, omdat die exponentieel stijgen (door de e-macht in de sinus hyperbolicus).


Figuur 2
In figuur 3 staan de afgelegde afstand, de snelheid en de tijd nogmaals uitgezet als functie van de verstreken tijd aan boord van het ruimteschip, maar nu voor de gehele reis van dertig jaar. De afgelegde afstand en de snelheid heb ik weer op een logaritmische schaal afgedrukt.


Figuur 3
Ik schrijf nog even de limietgevallen uit voor als t' en x naar oneindig gaan:





Vergelijking (1) kan ik invullen in (2):



De figuren 2 en 3 hebben een logaritmische schaal en dat betekent voor t en x in formulevorm:





En dit zijn inderdaad allebei rechte lijnen die ook nog eens gaan samenvallen.

Voor de berekening zie deze Excel file (opent in een nieuw tabblad).