Relativiteitstheorie, vraagstuk 25

Stel je hebt een SuperLamborghini waarmee je een heel jaar lang kunt versnellen met een versnelling van één g. Wat is dan je snelheid en je afgelegde weg? En volgens de toeschouwers? En wat zijn de wederzijdse meningen over de verstreken tijd?
Iedereen die natuurkunde heeft gehad op het voortgezet onderwijs kent waarschijnlijk wel onderstaande tabel:
Afstand = constant Snelheid = constant Versnelling = constant
Afstand
Snelheid
Versnelling
Tabel 1: klassieke mechanica

Dit zijn de regels uit het tijdperk voordat Einstein op het toneel verscheen en wat we sindsdien aanduiden met de klassieke mechanica.

Stel, je hebt toevallig een Lamborghini staan en je hebt zin om je weer eens uit te leven. Je geeft gelijk vol gas en de auto stuift weg met een constante versnelling van 1 g = 9.8 m/s2. Volgens de rechterkolom van tabel 1 bereik je dan na 3 seconden een snelheid van 29.4 m/s oftewel ruim honderd kilometer per uur (105.84 km/uur). Op dat moment heb je 44.1 m afgelegd.

In het vorige vraagstuk heb ik de vergelijkingen voor afstand, snelheid, versnelling en tijd afgeleid met daarin de relativistische gevolgen van versnelling. Daaruit is deze tabel voortgekomen (W1 is de toeschouwer, W2 is degene die versnelt):
W1 W2
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tijd
Tabel 2: bewegingsparameters bij constante versnelling
Na 3 seconden lopen de klassieke mechanica en de relativistische vergelijkingen nog uitstekend met elkaar in de pas en kom je ook volgens tabel 2 uit op een snelheid van 29.4 m/s.

Deze Lamborghini is echter niet zomaar een Lamborghini maar het is een SuperLamborghini. Maar liefst een heel jaar lang (!) blijf je gas geven en de auto blijft probleemloos met een versnelling van 1 g voortrazen. Volgens tabel 1 heeft de auto dan een snelheid van v = 1.03c, net iets meer dan de lichtsnelheid (wat dus niet kan in de werkelijkheid). Maar niet volgens tabel 2! De snelheid van de auto is dan v = 0.77c, zowel volgens de bestuurder als volgens de toeschouwers. De toeschouwers krijgen waarschijnlijk onderhand wel genoeg van het spektakel, want voor hen is er dan inmiddels al een jaar en 68 dagen verstreken en ze zullen wel eens naar huis willen...

Voor de berekening zie deze Excel file (opent in een nieuw tabblad).