Relativiteitstheorie, vraagstuk 23

Hoe transformeert de energie van elektromagnetische golven indien waargenomen vanuit een ander stelsel dat met een constante snelheid beweegt? Ga uit van een vacuüm omgeving.
Elektromagnetische golven bestaan uit, de naam zegt het al, golven van wisselende elektrische en magnetische velden:


Figuur 1
En voor golven geldt in zijn algemeenheid:



De variabele φ zegt iets over de frequentie en fase van de golf, maar de amplitude u bepaalt de ‘power’ van de golf. De 220 Volt in onze stopcontacten is de zogenaamde effectieve spanning. Indien morgen de electriciteitscentrales besluiten om over te stappen van een netfrequentie van 50 Hertz naar een frequentie van 60 Hertz dan staat er effectief nog steeds 220 Volt op het net. Pas wanneer de amplitude, die nu ruim 310 (220 √ 2) Volt is, verandert, dan verandert ook de effectieve spanning.

De energie-inhoud van het elektrische veld (in vacuüm, per volume-eenheid) is:



En de energie-inhoud van het magnetische veld (in vacuüm, per volume-eenheid) is:



De energie-inhoud van het elektromagnetische veld (in vacuüm, per volume-eenheid) is de som van deze twee energieën:



Omdat de energie-inhoud van het elektromagnetische veld evenredig is met de veldsterkte in het kwadraat is ze dus ook evenredig met de amplitude in het kwadraat.

Vervolgens beschouwen wij, W1, een plukje licht, een groepje fotonen (elektromagnetische stralen/elektromagnetische energie) dat door de ruimte scheert in de x-richting met een snelheid +c:


Figuur 2
Om dat groepje fotonen heen tekenen we een denkbeeldige kubus die met dat groepje fotonen meebeweegt met de snelheid van het licht:


Figuur 3
De ribben van deze kubus noem ik xk, yk en zk. Het volume van deze kubus is:



Vervolgens verschijnt er een andere waarnemer, W2, op het toneel die een snelheid +v heeft in de x-richting ten opzichte van ons (W1). Hoe ziet W2 de kubus? De eerste gedachte is waarschijnlijk “dat is simpel, gewoon effe een factortje γ ertegenaan zetten in de bewegingsrichting en klaar is Kees”. Zo hebben we dat inderdaad geleerd, afstanden krimpen met een factor γ in de bewegingsrichting (lengte-contractie). Echter, dit is niet zomaar een kubus maar eentje die een groepje fotonen omsluit en met de snelheid van het licht voorbijkomt. En omdat de lichtsnelheid onafhankelijk is van de waarnemer betekent dit dat alle fotonen in dit groepje elkaar ook met de snelheid van het licht zien bewegen! We hebben dus niet te maken met drie referentiestelsels (W1, W2 en de kubus met fotonen) maar ieder foton is een stelsel op zich! Het achterste foton van het groepje wordt een derde waarnemer, W3, en het voorste foton wordt de vierde waarnemer, W4:


Figuur 4
Het achterste foton loopt waarschijnlijk een trauma op omdat hij met de lichtsnelheid door de kosmos jakkert en desondanks ziet dat het voorste foton zich met de lichtsnelheid van hem verwijdert. Wij, W1, zien de grootte van de kubus in de x-richting als volgt (de lage index a duidt op de achterkant van de kubus en de lage index v duidt op de voorkant van de kubus, het cijfer in de lage index geeft het waarnemende stelsel aan):



Waarnemer W2 ziet het zo:

Middels de Lorentz-transformaties gaan we de waarneming van W2 omzetten naar het stelsel van ons:



Indien de kubus ‘gewoon’ een star lichaam was dan was het simpel want dan geldt tv1 = ta1 en krijgen we als resultaat xk2 = γ xk1. Echter, de voorkant van de kubus is een ander referentiestelsel dan de achterkant dus wat wij (W1) als gelijktijdigheid (tv1 = ta1) hebben ervaren zal zeker niet zo ervaren worden door W2. Laten we daar eens even de Lorentz-transformaties op loslaten om erachter te komen hoe de voorkant en de achterkant elkaar beleven (en omdat W3 en W4 een relatieve snelheid hebben die gelijk is aan de lichtsnelheid is γ = ∞ en 1/γ = 0), om te beginnen vanuit W3 de x-as:



En de tijd vanuit W3:



De x-as vanuit W4:



En tenslotte de tijd vanuit W4:



Je kunt je op dit moment terecht afvragen waarom ik in alle gevallen uitgegaan ben van een snelheid +c? Indien het achterste foton het voorste foton zich met +c ziet verwijderen dan is het logisch om te denken dat het voorste foton het achterste foton met een snelheid van −c ziet. Waarom geldt dan toch voor alle fotonen een snelheid +c?
  1. Indien het achterste foton met een snelheid −c zou bewegen, dus naar links, en het voorste foton met een snelheid +c dus naar rechts, dan hebben we een lichtkegel hetgeen in strijd is met de werkelijkheid.
  2. Wanneer W2 steeds sneller zou gaan totdat hij uiteindelijk (in theorie) de lichtsnelheid bereikt dan blijven alle fotonen zich toch met een snelheid +c van hem verwijderen.
  3. En als we inderdaad aan het achterste foton een snelheid −c zouden toekennen, wat doen we dan met de snelheid van de andere fotonen van het groepje? Dit zou tot willekeur leiden. Doen we dan de helft met −c en de andere helft met +c? En als het nou een oneven aantal fotonen is?
Kortom, hoe absurd het ook klinkt: alle fotonen zien elkaar met de lichtsnelheid +c naar rechts bewegen (waarbij “zien” uiteraard niet de juiste uitdrukking is, want er is geen enkel foton dat het netvlies van een ander foton kan bereiken omdat ze een relatieve snelheid hebben van c, bovendien hebben fotonen waarschijnlijk geen netvliezen).

We kunnen de Lorentz-transformaties die we zojuist uitgevoerd hebben als volgt samenvatten, om te beginnen de vergelijkingen (11) en (12):



En de vergelijkingen (9) en (10):



Door de vergelijkingen (13) en (14) te combineren ontstaat:



Dus moet altijd gelden, onafhankelijk van de waarnemer (want de lichtsnelheid c is voor alle waarnemers gelijk):



Deze wijsheid gaan we invullen in de transformatievergelijking die we opgesteld hadden voor W2 (vergelijking (8)):



De kubuszijden yk en zk staan loodrecht op de bewegingsrichting en blijven daarom ongewijzigd. Kortom, W2 ziet het volume van de kubus niet krimpen met een factor γ, maar:



Nu hebben we alles klaar staan om tot een antwoord te komen. Zoals ik aan het begin uitlegde en zoals de vergelijkingen (2), (3) en (4) ook laten zien is elektromagnetische energie evenredig met de amplitude in het kwadraat. De amplitude van een golf transformeert als volgt:



Vergelijking (4) geeft de energie per volume-eenheid en daarom moeten we hier ook bij in betrekken hoe het volume waar de energie in zit transformeert. Dat hebben we gevonden met vergelijking (18). Een hoeveelheid energie Ω is evenredig met het volume en evenredig met het kwadraat van de amplitude:



Met behulp van (18) en (19) kunnen we nu uitrekenen hoe dit waargenomen wordt vanuit een ander stelsel:



Oftewel:

Is dit een omslachtige methode? Ja, best wel. Laat ik het daarom ook eens via een andere weg berekenen. Voor de energie van een foton geldt (hierin is h de constante van Planck):

Indien ik een ‘clubje’ van n fotonen heb (met verschillende frequenties) dan is de totale energie van die fotonen:

Vanuit het relativistische Doppler-effect weten we dat frequenties als volgt transformeren:

Door de vergelijkingen (24) en (25) te combineren krijgen we:



De vergelijkingen (22) en (26) zijn identiek, maar deze tweede methode was aanzienlijk eenvoudiger!