Relativiteitstheorie, vraagstuk 22

Bereken de energie-inhoud van het magnetische veld. Ga uit van een vacuüm omgeving.

‘Iets’ dat door een (denkbeeldig) oppervlak stroomt noemen we flux:

Of wat wiskundiger opgeschreven:



Dat iets kan van alles zijn, het zou water kunnen zijn maar ook wat abstracters als warmte of een veld. Omdat datgene wat stroomt niet altijd loodrecht op het oppervlak staat (waar het doorheen stroomt) en ook niet overal dezelfde waarde/grootte zal hebben zullen we doorgaans moeten integreren over het gehele oppervlak:



De punt in bovenstaande vergelijking geeft het inwendig product aan, en daardoor tellen alleen de componenten van Ω mee die loodrecht door het oppervlak gaan (want dA staat ook loodrecht op het oppervlak, het is een normaalvector).

Hier gaan we het uiteraard hebben over het magnetische veld. Voor hetgene dat stroomt nemen we, om redenen die weldra duidelijk worden, niet het magnetische veld maar de magnetische inductie. De magnetische inductie B is de vectorsom van het magnetische veld H en de magnetisatie M (van het medium/de tussenstof):



Omdat we uitgaan van een vacuüm omgeving valt er niets te magnetiseren en is M dus gelijk aan nul. Vergelijking (4) wordt dan simpelweg:



Waarin μ0 de permeabiliteit van het vacuüm is (permeabel betekent “doordringbaar” of “doorlaatbaar” en het nulletje geeft het vacuüm aan). Voor de flux kunnen we dus schrijven:

Dit gaan we loslaten op een spoel, een solenoïde.

We stellen ons een lange solenoïde voor en binnenin, ver genoeg van de uiteinden, is het magnetische veld homogeen. In onderstaand plaatje zie je een dwarsdoorsnede (in de lengterichting) van de solenoïde en heb ik (delen van) enkele veldlijnen getekend:


Figuur 1
Dit homogene magnetische veld in de solenoïde is:



Hierin is i de stroom door de solenoïde, N is het aantal windingen, en l is de lengte van het deel waarvan ik probleemloos mag aannemen dat het veld daar homogeen is. Wanneer ik de solenoïde loodrecht op de lengte-as doorsnij dan heeft het snijvlak de vorm van een cirkel met straal a. Voor dit cirkelvormige oppervlak geldt:



Het magnetische veld staat hier loodrecht op en is homogeen waardoor ik voor de flux simpelweg kan schrijven:

Veranderingen in deze flux wekken een spanning op in één enkele winding van de solenoïde volgens de inductiewet van Faraday:

Ik ga vergelijking (9) hierin invullen:



Voor het deel l van de solenoïde, bestaande uit N windingen, wordt de opgewekte spanning N maal zo groot:



Indien ik een beetje lading dq tegen een spanningsverschil in wil verplaatsen dan kost mij dat een beetje arbeid dW:



De vergelijkingen (12) en (13) ga ik combineren:



Door deze vergelijking te integreren vind ik de totale arbeid:



Deze verrichte arbeid wordt als energie toegevoegd aan het veld (of onttrokken aan het veld indien de elektrische lading de andere kant op zou bewegen). Indien ik de energie-inhoud van het veld wil weten per volume-eenheid (en dat wil ik), dan moet ik nog delen door het volume van het stuk solenoïde zijnde V = πa2l:



Vergelijking (16) geeft de energie-inhoud per volume-eenheid van het magnetische veld.