Relativiteitstheorie, vraagstuk 21

Bereken het magnetische veld in een hele lange rechte spoel. Ga uit van een vacuüm omgeving.
Dit probleem gaan we in drie stappen aanpakken. Allereerst onderzoeken we het magnetische veld op de as die loodrecht door het midden van één enkele stroomvoerende lus gaat.


Figuur 1
Ik kies een willekeurig punt P op de as:


Figuur 2
Vervolgens bepaal ik de bijdrage van een willekeurig infinitesimaal stukje van de stroomvoerende geleider, dat stukje noem ik dl, aan het magnetische veld in het punt P. Ik kies een stukje dl en ik geef gelijk wat afstanden en hoeken aan:


Figuur 3
De bijdrage van de stroom i door het stukje dl aan het magnetische veld H in P is (in vectornotatie):



Het kruisje in bovenstaande vergelijking geeft het uitwendig product aan:



Hierin is n een eenheidsvector die zowel loodrecht op A als B staat en φ is de hoek die door de vectoren ingesloten wordt. Vergelijking (1) kan ik omschrijven als volgt (en omdat r een eenheidsvector is, is de grootte één en hoef ik die niet meer mee te slepen). Verder hebben we hier de gelukkige omstandigheid dat de hoek tussen r en dl altijd 90 graden is, en de sinus van die hoek dus gelijk is aan één:



Deze magnetische veldsterkte kent een component evenwijdig aan de as die door het midden van de lus loopt:



En ook een component die daar loodrecht op staat:



De volgende stap is uiteraard om te gaan integreren over de totale lengte van de lus om het veld in P te bepalen. De som van alle loodrechte componenten zal op grond van symmetrieredenen op nul uitkomen. We dienen ons dus alleen nog te bekommeren om de componenten evenwijdig aan de as:



In figuur 3 zie ik dat:





En deze twee vergelijkingen vul ik in in vergelijking (6):



Aldus vinden we de magnetische veldsterkte H in het punt P als gevolg van een stroom i die door een enkele lus loopt.

Dan gaan we nu door naar de volgende stap. Ik plaats een hele reeks stroomlussen achter elkaar: een spoel. Of heel officieel: een solenoïde.

Ik heb een tekening gemaakt van de dwarsdoorsnede van een solenoïde:


Figuur 4
Ik heb een as getekend precies door het midden van de solenoïde. Nu gaan we de veldsterkte bepalen op een willekeurige plaats P op die as:


Figuur 5
Vergelijking (9) geeft de veldsterkte als gevolg van één enkele lus, maar in het geval van de solenoïde is dat slechts een klein deel van de totale veldsterkte als gevolg van alle lussen:



Hierin is b, net als bij de berekening die ik hiervoor deed bij de enkele lus, de afstand op de as. Ik ga weer even wat afstanden en hoeken aangeven:


Figuur 6
Om de totale veldsterkte in P te berekenen zal ik weer moeten gaan integreren:



Deze integraal is op zijn zachtst gezegd niet heel fijn, dus ik ga over van de variabele b naar de variabele α. In figuur 6 zie ik dat:



Ik kan db dus vinden door (12) te differentiëren:



En ik moet natuurlijk nog weten hoeveel lussen er zijn, oftewel hoeveel windingen de solenoïde heeft. Het aantal windingen noem ik N en de lengte van de solenoïde is l. Dat dien ik nog in te brengen in vergelijking (13) voor het stukje db:



En dit resultaat plus vergelijking (12) vul ik in in vergelijking (11):



We gaan uit van een hele lange spoel, dus dan is α1 bij goede benadering 180 graden en α2 nul graden:



Merk op dat aan de uiteinden van de spoel α gelijk is aan 90 graden en de waarde van H daardoor halveert. Vergelijking (16) geeft de waarde van het magnetische veld in de spoel ‘ver genoeg’ van de uiteinden maar alleen op de as door het midden van de spoel. Natuurlijk willen we ook weten wat de waarde van H is op andere plaatsen in de spoel. Dat kunnen we bereiken door bovenstaande rekenexercitie helemaal over te doen voor een punt P op een willekeurige plaats in de spoel, maar dat is een uitermate gecompliceerde berekening.

In dit soort gevallen is het altijd goed om in de trucendoos op zoek te gaan. Daar vinden we de wet van Ampère en die gaat ons hier buitengewoon helpen:

Zoals ik aan het begin al schreef gaan we dit probleem in drie stappen aanpakken en dit wordt de derde stap. De wet van Ampère stelt dat wanneer ik het magnetische veld integreer over een gesloten route (ik eindig dan waar ik begonnen ben) dat de uitkomst dan gelijk is aan de stroom door eventuele geleiders die het vlak van de route kruisen (die dus door de integratieroute omsloten worden). De punt in bovenstaande vergelijking geeft het inwendig product aan, en daardoor tellen alleen de componenten van het veld mee die evenwijdig lopen met het pad van de route. Ik heb in de solenoïde (delen van) een aantal veldlijnen ingetekend:


Figuur 7
Vervolgens kies ik een integratieroute:


Figuur 8
De integratieroute, het lichtblauwe rechthoekje, omsluit geen stroomvoerende geleiders en dus vereenvoudigt de wet van Ampère tot:



De linkerkant en de rechterkant van het lichtblauwe rechthoekje staan loodrecht op de veldlijnen en tellen dus niet mee (zij dragen niet bij aan de integraal). De onderkant en de bovenkant van het lichtblauwe rechthoekje lopen evenwijdig aan de veldlijnen, zijn even lang, en dat kan maar tot één conclusie leiden: de sterkte van het veld is op beide plaatsen even groot (boven en onder loopt de integratieroute een andere kant op en dus wisselt het teken, en de som moet nul zijn). Oftewel, de veldsterkte ‘bovenin’ de solenoïde is exact gelijk aan de veldsterkte in het midden. Uitgeschreven wordt dit:



Ik kan mijn integratieroute uiteraard ook anders kiezen:


Figuur 9

Figuur 10

Voor het integratieverhaal maakt dit niet uit. Ook hier kom ik tot de slotsom dat de veldsterkte ‘onderin’ de solenoïde exact gelijk is aan de veldsterkte in het midden. Wanneer ik maar voldoende ver van de uiteinden weg blijf dan is de veldsterkte in de solenoïde/spoel overal gelijk aan:


Figuur 11

Figuur 10 is weliswaar duidelijk, maar wel een erg geïdealiseerde weergave. Het plaatje hiernaast geeft beter weer hoe de veldlijnen lopen.