Relativiteitstheorie, vraagstuk 19

Leid op de meest simpele manier de Lorentz-factor γ af.
Stel ik heb een bepaald referentiestelsel:


Figuur 1
In dit stelsel beweegt zich een lichtstraal van A naar B:


Figuur 2
De snelheid van de lichtstraal is uiteraard de lichtsnelheid c en de tijd die ‘heerst’ in dit stelsel noem ik τ. Voor de afgelegde weg van A naar B geldt dan:



Dit stelsel passeert een ander stelsel met een snelheid v:


Figuur 3
Vanuit dat andere stelsel ziet men uiteraard ook de lichtstraal van A naar B gaan, maar tevens ziet men dat het punt B zich verplaatst terwijl de lichtstraal onderweg is van A naar B. Dus wanneer de lichtstraal aankomt in B heeft B zich een stukje verplaatst en dit punt noem ik B*:


Figuur 4
Vanuit dit andere stelsel bezien is de snelheid van de lichtstraal uiteraard ook de lichtsnelheid c (want de lichtsnelheid is voor alle waarnemers gelijk) en de tijd die ‘heerst’ in dit stelsel noem ik t. Voor de afgelegde weg van A naar B* geldt dan:



En voor de verplaatsing van B naar B* kan ik opschrijven:

Op de driehoek ABB* ga ik de stelling van Pythagoras toepassen:



Hierin ga ik de vergelijkingen (1), (2) en (3) invullen:



Ik stel:



Vergelijking (5) wordt dan:



Tenslotte stel ik nog:

Zodat ik tenslotte kom tot:



De factor γ is de geschiedenis ingegaan als de Lorentz-factor.

In de situatie die ik hierboven helemaal heb uitgewerkt zie je dat de tijden van beide stelsels uiteindelijk met een factor γ uit de pas gaan lopen. Maar ook afstanden en massa’s veranderen per waarnemer volgens ditzelfde getal. Daarnaast duikt γ ook op in de transformatieformule’s van andere grootheden zoals frequentie en amplitude, en in de Lorentz-transformaties. Oftewel, wanneer je je in relativiteitstheorie gaat verdiepen dan vliegen de γ’s je al snel om de oren.