Relativiteitstheorie, vraagstuk 15

Laat zien dat de schaalverdeling in een ruimtetijddiagram niet relevant is zolang lichtstralen maar getekend worden onder een hoek van 45 graden.
We keren nogmaals terug naar meneer W en de aliens waar ik het al in een eerder vraagstuk over gehad heb. W is op Aarde met een lampje en twee spiegeltjes in de weer en de aliens slaan dat gade vanuit de ruimte.

Ik ga stap voor stap het plaatje opbouwen zoals het er voor beide partijen uitziet. En ik doe het in drievoud, met drie verschillende afstanden tot de spiegeltjes, om te laten zien dat de afstand tot de spiegeltjes er niet toe doet. Dat mag er ook niet toe doen, want tot nu toe hebben we onze ruimtetijddiagrammen telkens getekend zonder maatverdeling bij de assen. We hebben de assen wel zo op elkaar afgestemd dat lichtstralen altijd onder een hoek van 45 graden getekend worden (dát is de essentie), maar nergens is te zien wat één seconde of één meter voorstelt.

Stap 1: allereerst teken ik de wereldlijn van W'. De aliens zien W naar rechts bewegen omdat W vanuit hun positie gezien in beweging is en daarom helt zijn wereldlijn over naar rechts. Een apostroph geeft aan dat het waargenomen is vanuit de aliens, zonder apostroph betekent waarneming vanuit W. Ik kies voor een helling h = 4/1 = 4 (één hokje naar rechts gaat gepaard met vier hokjes omhoog). In dit vraagstuk hebben we geleerd dat de snelheid de reciproke waarde hiervan is, dus v = 1/4 c = 0.25 c (de assen zijn genormaliseerd naar de lichtsnelheid c dus v is ook in verhouding tot c), oftewel β = 0.25. Dit betekent dat γ = 4/√(15) ≈ 1.0328, dus W en de aliens zien bij elkaar klokken en afstanden met ruim drie procent krimpen. Ik had er natuurlijk ook voor kunnen kiezen dat de aliens W naar links zien bewegen in plaats van naar rechts. In dat geval speelt alles zich in spiegelbeeld af in het tweede kwadrant (gespiegeld in de verticale as ten opzichte van het eerste kwadrant), maar verandert er in essentie helemaal niets. Dit is de wereldlijn van meneer W gezien vanuit de aliens, oftewel de wereldlijn van W':






Figuur 1a/b/c
Stap 2: vervolgens teken ik de beide spiegeltjes L' (links) en R' (rechts) op drie verschillende willekeurige afstanden van W'. Vanuit de aliens gezien bewegen de spiegeltjes uiteraard ook en hun wereldlijnen lopen evenwijdig aan de wereldlijn van W', want ze hebben dezelfde snelheid als W'. Indien deze drie wereldlijnen niet evenwijdig zouden lopen dan zouden W' en de spiegeltjes vanuit de aliens gezien ergens met elkaar in botsing komen en dat is in strijd met de werkelijkheid.






Figuur 2a/b/c
Stap 3: ergens op de wereldlijn van W' flitst het lampje en dat is gebeurtenis A'. Deze gebeurtenis valt samen in beide referentiestelsels (het stelsel van W en het stelsel van de aliens) en daarom geldt A = A'. Ik kan nu ook gelijk de lichtstralen erbij intekenen die het lampje in A' verlaten, weerkaatst worden op de spiegeltjes, en in D' bij W' terugkomen.






Figuur 3a/b/c
Stap 4: de gebeurtenissen waar de lichtstralen de spiegeltjes L' en R' raken zijn B' en C'. Door deze twee gebeurtenissen trek ik een lijn en dat is de lijn die gelijktijdigheid aangeeft voor W' want B en C zijn gelijktijdig voor W. Voor de aliens loopt de tijd-as (de as die gelijke afstanden aangeeft) verticaal en de ruimte-as (de as die gelijktijdigheid aangeeft) loopt horizontaal. We zien nu dat de tijd-as van W' naar rechts overhelt volgens één hokje naar rechts en vier hokjes omhoog, en de ruimte-as van W' helt omhoog volgens het recept vier hokjes naar rechts en één hokje omhoog. Let wel: zoals de aliens hem waarnemen. De hoek tussen de tijd-as van de aliens en de tijd-as van W' is dus exact gelijk aan de hoek tussen de ruimte-as van de aliens en de ruimte-as van W'. Deze hoek noem ik φ en er geldt tan φ = 0.25, dus φ = arctan 0.25 ≈ 14 graden (zoals na te meten is met een gradenboog).






Figuur 4a/b/c
Stap 5: nu ga ik de beleving van dit alles volgens W hierbij intekenen. W zegt uiteraard dat hij in rust is (dat hij niet beweegt) en zijn wereldlijn gaat dus precies verticaal door A.






Figuur 5a/b/c
Stap 6: maar waar bevinden zich nu de beide spiegeltjes L en R? In het moment A' zijn de spiegeltjes in E' en F' volgens de aliens want hun ruimte-as, hun as van gelijktijdigheid, loopt horizontaal. Zij bewegen immers niet (zeggen ze). Echter, de gelijktijdigheids-as van W staat onder een hoek φ, net als de lijn B'C', dus wanneer W in A is zijn zijn spiegeltjes volgens hem in E en F.






Figuur 6a/b/c
Stap 7: de wereldlijnen van L en R zijn verticale lijnen want W zegt uiteraard dat de spiegeltjes, net als hemzelf, niet bewegen. Tenslotte kunnen nu ook de lichtstralen getekend worden die naar de beide spiegeltjes gaan, daar weerkaatst worden en samenkomen in D. D en D' liggen in alle scenario’s op een horizontale as want vanuit de aliens gezien heeft deze gebeurtenis naast tijd ook de afstand vt' afgelegd. Voor W bestaat de afstand AD alleen uit tijd en niet uit afstand, want W vindt ‘uiteraard’ dat hij stil staat, en daarom loopt de lijn AD ook perfect verticaal. De aliens zien dit heel anders, voor hen legt W' niet alleen tijd af maar ook afstand. Zij zien de lijn A'D' daarom overhellen onder een hoek φ.






Figuur 7a/b/c