Relativiteitstheorie, vraagstuk 13

Leid uit de Lorentz-transformaties de formule af voor het optellen van snelheden.

Ik pak de Lorentz-transformaties erbij voor twee stelsels, P en Q, die met een snelheid v ten opzichte van elkaar bewegen:









Vanaf dit punt is het een kleine en voor de hand liggende stap om uit te zoeken hoe snelheden bij elkaar opgeteld moeten worden. Om te beginnen neem ik de differentialen van de bovenstaande Lorentz-transformaties:









De stelsels P en Q hebben een snelheid v ten opzichte van elkaar en ik ga er van uit dat die in de x-richting is. Vervolgens stel ik dat er binnen het P-stelsel iets beweegt in de x-richting met een constante snelheid vx,p. Omdat deze snelheid volledig plaatsvindt in de x-richting gebeurt er dus in de y-richting en de z-richting niets relativistisch (geen lengtecontractie of tijddilatatie, vanuit welk stelsel dan ook waargenomen):





Voor de snelheden in de x, y en z-richting in het P-stelsel geldt:







Voor iets dat beweegt binnen het Q-stelsel kan ik hetzelfde opschrijven. Oftewel, voor de snelheden in de x, y en z-richting in het Q-stelsel geldt:





Hoe nemen de bewoners van het andere stelsel dit waar in de diverse richtingen? Daarvoor gebruiken we de Lorentz-transformaties volgens de vergelijkingen (2). Dit is de snelheid binnen het Q-stelsel zoals die wordt waargenomen vanuit het P-stelsel (dus getransformeerd naar het P-stelsel):







En dit is de snelheid binnen het P-stelsel zoals die wordt waargenomen vanuit het Q-stelsel (dus getransformeerd naar het Q-stelsel):







Ik zet de resultaten even netjes op een rijtje:













Het P-stelsel beweegt met een snelheid +v ten opzichte van het Q-stelsel en het Q-stelsel beweegt met een snelheid −v ten opzichte van het P-stelsel. Merk op dat indien hetgene dat beweegt binnen het Q-stelsel een snelheid heeft vx,q = +v, dan ziet een P-waarnemer dat stilstaan (vergelijking (6a)), zoals het hoort:



En merk ook op dat indien hetgene dat beweegt binnen het P-stelsel een snelheid heeft vx,p = +v, dan ziet een Q-waarnemer dat niet met een snelheid 2v (zoals we gewend zijn te denken), maar een fractie minder (vergelijking (7a)):



Indien de snelheid v veel kleiner is dan c dan is die breuk in de noemer natuurlijk te verwaarlozen en is de uitkomst nagenoeg 2v. Echter indien v gelijk is aan 0.999c, dus bijna de lichtsnelheid, dan is de uitkomst 0.9999995c en dus nog steeds onder de lichtsnelheid. Ook hieruit blijkt dat de lichtsnelheid een niet te nemen barrière is.