Relativiteitstheorie, vraagstuk 10

Bewijs dat het elektrische veld in een kooi van Faraday nul is.
Het elektrische veld binnen een metalen geleider, een kooi van Faraday, is nul. Maar waarom is dit zo? Waar is het bewijs?

De eerste bewijsmogelijkheid is uiteraard om het, in navolging van Michael Faraday zelf, gewoon uit te proberen:



Figuur 1



Figuur 2
De persoon in de auto respectievelijk in de metalen kooi blijft in leven dus het bewijs is geleverd.

Quod erat demonstrandum (1).

Dit soort plaatjes, zoals hierboven, is vooral visueel heel spectaculair, maar een bewijs dat het veld écht nul is is het natuurlijk niet. Indien er nog een klein beetje veld aanwezig is in de kooi dan zal de proefpersoon het ook wel overleven. Voor een exacter bewijs zullen we toch naar de wiskunde moeten grijpen. De eerste manier om het wiskundig te bewijzen is via de meetkunde. Daartoe beschouwen we een geleidende bol met middelpunt M:


Figuur 3
Binnen deze bol kiezen we een willekeurig punt P. Door dit punt P trekken we een horizontale lijn die de bol snijdt in de punten L en R. We trekken ook twee lijnen door het punt P die onder een hoek α staan met de zojuist getrokken lijn LR, de ene lijn onder een hoek +α en de andere lijn onder een hoek −α. De volgende stap is om een verticale lijn te trekken door het punt L en een verticale lijn door het punt R. Deze twee verticale lijnen reiken tot aan de lijnen die we vlak daarvoor getrokken hebben onder een hoek α. Dit plaatje is uiteraard tweedimensionaal, maar we dienen te beseffen dat de lijnen AP en BP de begrenzingen zijn van een driedimensionale kegel en ditzelfde geldt voor de lijnen CP en DP. Het open uiteinde van deze beide kegels zijn twee cirkelschijven CL en CR met diameters AB en CD. Voor het oppervlak AL van de cirkelschijf CL geldt:



En voor de cirkelschijf CR:



Verder geldt:



Omdat AB = 2 AL en CD = 2 CR kunnen we AL en AR ook schrijven als volgt:





Oftewel:



In de beide punten L en R kunnen we twee ronde raakoppervlakjes OL en OR denken die loodrecht staan op de lijnen ML en MR. Het vlak AL is de verticale projectie van het vlak OL en het vlak AR is de verticale projectie van het vlak OR. De grootte van deze projecties wordt bepaald door sin σL en sin σR. De hoek σL is gelijk aan de hoek LMQ en de hoek σR is gelijk aan de hoek RMQ. Omdat de driehoek LMR gelijkzijdig is en MQ de middelloodlijn is volgt hieruit dat de hoek LMQ gelijk is aan de hoek RMQ en dus dat σL = σR. Daarom kunnen we stellen dat:



De combinatie van de vergelijkingen (6) en (7) levert op:



In het limietgeval dat α naar nul nadert worden de oppervlakjes OL en OR infinitesimaal klein en vallen samen met het oppervlak van de bol. We nemen aan dat de lading op de bol uniform verdeeld is en deze ladingsverdeling noem ik ρ. Vergelijking (8) kan ik dan ook schrijven als:



De elektrische veldsterkte die in het punt P aanwezig is als gevolg van de lading in het punt L is:



En de elektrische veldsterkte als gevolg van de lading in R is:



Wanneer we dan een blik werpen op vergelijking (9) en tevens bedenken dat EL en ER tegengesteld gericht zijn en elkaar dus opheffen omdat ze in grootte gelijk zijn, dan volgt daaruit dat het elektrische veld in het punt P netto gelijk is aan nul. En omdat P een willekeurig punt is volgt daaruit dat overal binnen de bol het veld nul is.

Quod erat demonstrandum (2).

Meetkunde is ‘gewoon’ lijntjes trekken, maar kan het ook exacter met meer ‘echte’ berekeningen? Jawel, en dat is de volgende methode. Daartoe beschouwen we nogmaals precies dezelfde geleidende bol uit het voorgaande meetkundige bewijs:


Figuur 4
Ik trek een lijn die de bol precies in tweeën deelt en door de punten M en P gaat. Loodrecht op deze lijn MP doe ik een bandje (een heel smal lintje of zoiets) om de bol, in dit tweedimensionale plaatje zichtbaar als ABCD. De hoek AMP noem ik α en de hoek BMP is een heel klein beetje groter: α + ∆α. In de limietovergang dat B naar A nadert en C naar D wordt het bandje infinitesimaal smal (zeg maar oneindig smal) en gaat ∆α over in dα. De straal van de bol noem ik r. De lengte van het stukje boog van B naar A is dan r dα. De straal van het bandje ABCD is de loodrechte afstand van de lijn MP naar het punt A en die is r sin α. Daarmee wordt de oppervlakte (omtrek maal breedte) van het bandje:



We gaan er ook nu weer van uit dat de lading op de bol uniform verdeeld is en deze ladingsverdeling noem ik ρ. De lading op de bol is Q en het oppervlak van een bol is 4πr2. Dan geldt:



Voor de lading op het bandje kan ik dan schrijven:



Deze lading wekt in het punt P een veld op gelijk aan:



Deze veldbijdrage dE kunnen we ontbinden in twee componenten. De ene component, dE cos β, loopt langs de lijn MP en de andere component, dE sin β, staat hier loodrecht op. Om symmetrieredenen vallen alle componenten die loodrecht op de lijn MP staan tegen elkaar weg, waardoor we overhouden voor de veldbijdrage dE:



Deze vergelijking kent drie variabelen: de afstand AP en de hoeken α en β. Door de cosinusregel te gebruiken voor de driehoek AMP kan ik een uitdrukking vinden voor cos β:



Dit gaan we invullen in vergelijking (16):



Nu zijn er nog twee variabelen over: de afstand AP en de hoek α. Door nogmaals de cosinusregel te gebruiken voor de driehoek AMP kan ik ook een uitdrukking vinden voor cos α:



Ik moet uiteindelijk komen tot een uitdrukking voor sin α en dat bereik ik door bovenstaande vergelijking te differentiëren (aan de linkerkant naar de variabele α en aan de rechterkant naar de variabele AP):



Dit resultaat gaan we invullen in vergelijking (18):



De laatste stap is dan om al deze beetjes dE samen te nemen, oftewel te integreren:



Ook via deze weg is het antwoord nul, dus voor ieder willekeurig punt in de bol is het veld gelijk aan nul.

Quod erat demonstrandum (3).

Nu zul je wellicht denken: “we hebben het telkens over bollen, maar bijvoorbeeld een auto heeft een hele andere vorm, geldt het dan ook?”. Meneer Gauss heeft zich daar lang geleden al in verdiept en daaruit is voortgekomen de stelling van Gauss:



Hier staat dat de flux door het omsluitende oppervlak van een bepaald volume (linkerkant van de vergelijking) gelijk is aan de divergentie van de flux binnen dat volume (rechterkant van de vergelijking). En in ons geval kun je in plaats van flux veld lezen. In het speciale geval dat er binnen het volume geen flux verdwijnt of gegenereerd wordt dan gaat vergelijking (23) over in:



En dit geldt voor ieder willekeurig volume. Oftewel, ieder volume waarbinnen zich geen lading bevindt heeft een flux, een elektrisch veld, door het omsluitende oppervlak gelijk aan nul.

Quod erat demonstrandum (4).

Nog even iets over de auto. Een auto is geen perfecte kooi van Faraday om de doodeenvoudige reden dat de omhulling niet voor honderd procent uit metaal bestaat, denk hierbij met name aan de ramen. Dat de auto niet volledig veldvrij is blijkt ook uit het feit dat het mogelijk is om vanuit een auto te bellen met je mobiele telefoon. Is de auto dan toch een veilige plek bij onweer? In ieder geval vele malen veiliger dan buiten de auto, maar in geval van onweer is het verstandig om zoveel mogelijk bij de ramen weg te blijven en contact met metalen delen van de auto te vermijden.