Relativiteitstheorie, vraagstuk 9

Laat zien hoe je een vierdimensionale wereldlijn tekent (samenstelt) en dat de wereldlijn voor een lichtstraal altijd onder dezelfde hoek staat.

Zag Einstein meer dan wij, ‘gewone stervelingen’, zien? Dat is een vraag die automatisch opkomt wanneer je voor het eerst begint te lezen over relativiteitstheorie. Einstein praat met het grootste gemak over een vierdimensionaal continuüm terwijl wij met de beste wil van de wereld maar drie dimensies kunnen ontwaren. We kennen breedte, lengte en hoogte en snappen niet waar die vierde dimensie zich dan zou moeten bevinden. Allerlei twijfels komen op over de (beperkte) vaardigheden van je eigen waarnemingsvermogen en dit zet gelijk een domper op je enthousiasme waarmee je de reis door de relativistische wereld was begonnen. Je bent nog maar net uit de startblokken of de eerste teleurstelling is al een feit. In dit vraagstuk gaan we op zoek naar de vierde dimensie en we zullen die vinden ook!

Om te beginnen gaan we de driedimensionale wereld, die we zo goed kennen, een wat abstracter uiterlijk geven. Ik doe dit in hele kleine stapjes. De drie ruimtelijke dimensies uit ons dagelijks leven zijn breedte, lengte (of diepte) en hoogte. In een plaatje ziet dat er zo uit:


Figuur 1
Binnen de wiskunde duiden we deze drie dimensies doorgaans aan met x, y en z. Dan verandert het plaatje in:


Figuur 2
Nu ga ik deze driemensionale wereld heel anders tekenen. Om te beginnen stel ik vanaf nu dat hoogte niet meer bestaat, dus alles is zo plat als een dubbeltje. En als hoogte toch niet meer bestaat dan kan ik de z-as net zo goed weglaten:


Figuur 3
Wat we nu over hebben is het x-y-vlak. Ik kan in dit vlak naar links of naar rechts bewegen en naar voren of naar achteren. Dit kan ik nog verder comprimeren door simpelweg te stellen dat ik ‘de ene kant op’ beweeg of ‘de andere kant op’. Dan kan ik de y-as ook wel overboord zetten zodat ik dit overhoud:


Figuur 4
Op deze manier heb ik de hele driemensionale wereld waarin wij leven teruggebracht tot een enkele lijn waarover ik kan bewegen, hetzij naar links, hetzij naar rechts. Ik ga mijzelf er even bij intekenen:


Figuur 5
Ik heb mijzelf in dit plaatje toch een klein beetje hoogte gegeven want anders ben ik niet zichtbaar en dan heeft het hele plaatje uiteraard geen zin meer. Nu ga ik bewegen in deze abstracte driedimensionale wereld. Om te beginnen doe ik een stap naar rechts:


Figuur 6
Laat ik nog eens een stap naar rechts zetten:


Figuur 7
Dat gaat best wel lekker. Ik maak vervolgens een sprong terug naar de positie waar ik eerst stond:


Figuur 8
Zo kan ik over een lijn bewegen door de driedimensionale wereld. Laat ik even bij elkaar zetten wat ik allemaal heb uitgespookt, eerst twee stappen naar rechts en toen een sprong naar links:


Figuur 9
Bij het vorige tweedimensionale plaatje kan ik twee assen tekenen:


Figuur 10
Ziehier de vierdimensionale wereld van ruimte en tijd in een tweedimensionaal plaatje: ruimtetijd! Nu kunnen die x-lijnen er wel uitgesloopt worden en ook al die Ik-aanduidingen:


Figuur 11
Die tijd-as die naar beneden wijst ziet er wat raar uit dus ik spiegel het hele plaatje in verticale richting:


Figuur 12
De blokjes (die mij voorstellen) ga ik middels lijntjes met elkaar verbinden:


Figuur 13
Alle punten op dit plaatje tezamen noemen we de wereld. Binnen de relativiteitstheorie duiden we met “wereld” dus het vierdimensionale geheel van ruimte en tijd aan. Dat lijntje dat door deze wereld loopt heet een wereldlijn, in dit geval is dit de wereldlijn van mij.

Ofschoon ik hiervoor onze hele driedimensionale leefwereld gereduceerd heb tot een wiskundige abstractie met één enkele lijn zit die beperking mij eigenlijk helemaal niet in de weg (zolang ik geen ‘complexe’ bewegingen ga uitvoeren). Het simpelste geval van bewegen is uiteraard niet-bewegen, oftewel om gewoon stil te staan:


Figuur 14
Ik kan ook met constante snelheid naar rechts bewegen, waarbij “naar rechts” net zo goed “naar voren” of “naar achteren” of wat-dan-ook had kunnen zijn want de hele driedimensionale ruimte is teruggebracht tot één enkele lijn. Ergens moeten we in ons achterhoofd houden dat de lijn de totale driedimensionale ruimte omvat. Eigenlijk moet ik daarom zeggen dat ik met constante snelheid in een bepaalde richting beweeg (en welke richting dat dan is is hier niet relevant):


Figuur 15
Terwijl ik in een bepaalde richting beweeg, laat ik het voor het gemak maar aanduiden met “naar rechts”, gooi ik onderweg een balletje weg, ook naar rechts:


Figuur 16
Nu zijn er twee wereldlijnen, een wereldlijn van mij en een wereldlijn van het balletje. Het punt waar de twee wereldlijnen elkaar raken noemen we een gebeurtenis. En inderdaad gebeurde daar iets want ik gooide het balletje weg. Alle gebeurtenissen in de wereld betreffen het samenkomen van wereldlijnen. Wereldlijnen die geen andere wereldlijnen ontmoeten ervaren geen gebeurtenissen en doorkruisen de wereld in dodelijke saaiheid.

In het vorige plaatje ontstond er een nieuwe wereldlijn op het moment dat ik het balletje weggooide. Omdat de assen “Ruimte” respectievelijk “Tijd” aanduiden geven de hellingen van de wereldlijnen verstreken tijd per afgelegde ruimte weer.



Dit kan ik wat korter en wiskundiger opschrijven als:



En nog wiskundiger wordt dit:



Dit ga ik iets anders opschrijven:



Wat er nu in de noemer staat is snelheid:



Met andere woorden, de helling van een wereldlijn is omgekeerd evenredig met de snelheid! In het plaatje dat ik stil stond was mijn wereldlijn exact verticaal. Mijn snelheid was nul maar de helling, de steilheid, van mijn wereldlijn was oneindig. Vervolgens ging ik naar rechts bewegen en was mijn snelheid niet nul meer en mijn wereldlijn werd toen minder steil en helde over naar rechts. Het balletje dat ik weggooide verkreeg een snelheid die groter was dan ik zelf al had, omdat mijn snelheid de basissnelheid van het balletje is, en daardoor werd de wereldlijn van het balletje nog weer wat horizontaler dan de mijne.

Bij de assen staat wel aangegeven dat het om “Ruimte” en “Tijd” gaat maar we hebben nog geen maatstreepjes bij de assen staan. We hebben inmiddels geleerd dat hoe steiler een wereldlijn is, des te lager de snelheid is, maar we kunnen nog niets zeggen over de exacte grootte van een bepaalde snelheid. Daarvoor gaan we een maatverdeling aanbrengen. Deze maatverdeling kiezen we zo dat een lichtstraal onder een hoek van 45 graden beweegt. Of beter gezegd: de snelheid waarmee een lichtstraal beweegt klieft de hoek tussen de beide assen precies in tweeën. Laat ik de maatverdeling bij de assen weg dan zou ik kunnen stellen dat de lichtsnelheid overeenkomt met c = 1 of dat verticaal niet de tijd t staat uitgezet maar ct. Dit komt grafisch en wiskundig uiteindelijk allemaal op hetzelfde neer.

Wanneer ik een balletje weggooi dan maakt het uit of ik zelf stil sta of dat ik met een bepaalde snelheid beweeg, dus de steilheid van de wereldlijn van het balletje is afhankelijk van de steilheid van mijn wereldlijn (mijn snelheid). De snelheid van het licht kent deze afhankelijkheid niet (want de lichtsnelheid is voor iedere waarnemer constant) en heeft altijd een vaste waarde. Door de maatverdeling van de assen zo te kiezen dat een lichtstraal onder een hoek van 45 graden beweegt zal dit altijd zo zijn. Van iedere lichtstraal die door de wereld beweegt kan ik dan per definitie de wereldlijn onder een hoek van 45 graden tekenen.

Stel, er zijn twee personen waarvan de ene stilstaat en de andere beweegt met een bepaalde snelheid v naar rechts. Op een bepaald moment doen ze allebei een zaklamp aan:


Figuur 17
Voor de duidelijkheid heb ik de wereldlijnen van de lichtstralen als onderbroken lijnen getekend. Deze beide wereldlijnen lopen evenwijdig ongeacht wat de snelheden zijn van beide personen!