Relativiteitstheorie, vraagstuk 8

Laat zien dat het specifiek de constante lichtsnelheid is die voor tijddilatatie zorgt.
Een treinpassagier is met een balletje aan het spelen, het balletje rolt van A naar B:


Figuur 1

De trein beweegt naar rechts met een snelheid vt maar daar merkt de passagier zelf helemaal niets van. De trein, hijzelf, het balletje en alles wat zich in de trein bevindt bewegen zich allemaal met diezelfde snelheid vt naar rechts. De waarneming dat de trein zich vooruit spoedt met een snelheid vt is een waarneming van iemand buiten de trein. De passagier rolt het balletje naar de andere kant van de coupé (loodrecht op de bewegingsrichting) en de snelheid van het balletje noem ik vb. Daarbij wordt een afstand AB afgelegd waarvoor geldt:



Oftewel:



En deze vergelijking ga ik links en rechts kwadrateren met het oog op wat nog komen gaat:

In het weiland staat een boer die de trein voorbij ziet komen. Hij ziet ook de treinpassagier die met een balletje aan het spelen is:



Figuur 2

Hij ziet dat de treinpassagier het balletje naar de andere zijde van de wagon rolt maar hij ziet tegelijkertijd dat de trein in diezelfde tijd een stukje naar rechts opgeschoven is. Vanuit zijn beleving heeft het balletje een afstand A'B' afgelegd waarvoor geldt (met gebruikmaking van de stelling van Pythagoras):



Oftewel:



Er is één ding waarover de treinpassagier en de boer volledige overeenstemming zullen hebben: de afstand ∆y. Daarom kan ik de belevingen van de treinpassagier en de boer middels (∆y)2 aan elkaar koppelen als volgt:



Tot het jaar 1905 ging iedereen er vanuit dat de tijd gelijkmatig voortgaat voor alle bewoners van dit universum, dus ook voor de treinpassagier en de boer:



Dan kunnen we de tijd gewoon uitdelen en houden we over:



De boer ziet een hogere snelheid van het balletje omdat vanuit zijn gezichtsveld de snelheid van de trein bijdraagt aan de snelheid van het balletje. En inderdaad, wanneer de treinpassagier en de boer met behulp van wat apparatuur de snelheid van het balletje nameten vanuit hun beider posities dan vinden zij waarden die perfect in overeenstemming zijn met bovenstaande vergelijking (ervan uitgaande dat hun apparatuur niet nauwkeuriger is dan een stuk of tien cijfers achter de komma...).

De treinpassagier is het spelen met het balletje zat en gaat met zijn zaklamp spelen. Nu gaat het niet meer om een balletje maar om lichtstralen. Met c als de snelheid van het licht verandert vergelijking (8) dan in:



De treinpassagier en de boer hebben echter wel zoveel kennis van natuurkunde dat ze weten dat de lichtsnelheid voor alle waarnemers gelijk is. Met andere woorden:



Dit confronteert hen met het feit dat vergelijking (9) niet waar kan zijn. De enige uitweg is om hun berekeningen nog eens grondig na te gaan en ze zullen moeten concluderen dat vergelijking (7) ook in twijfel getrokken moet worden! Ze hadden de tijd daarom niet uit mogen delen en dat brengt hen terug bij:



Dit gecombineerd met (10) geeft:



Door te stellen dat:



Dan ontstaat:



Door ook nog te stellen dat:



Zo kom ik tenslotte tot:



De treinpassagier en de boer komen tot de conclusie dat de boer de tijdsvoortgang in de trein met een factor γ ziet vertragen ten opzichte van de tijdsvoortgang bij de boer: tijddilatatie. Maar door het hele verhaal om te draaien, namelijk de boer staat in het weiland met een zaklamp te spelen en de treinpassagier ziet de boer met een snelheid v langskomen, komen ze tot de omgekeerde conclusie. De treinpassagier ziet de tijdsvoortgang bij de boer met een factor γ vertragen ten opzichte van de tijdsvoortgang in de trein. Hoe onvoorstelbaar het ook is, ze zien allebei de tijd bij de ander vertragen met dezelfde factor γ en tevens lopen hun tijden niet gelijk.