Relativiteitstheorie, vraagstuk 7

De snelheid in de ‘gewone’ driedimensionale wereld is de vector v en in de vierdimensionale ruimtetijd de vector u. Druk de componenten van de ene vector uit in de componenten van de andere vector en vice versa, en geef de absolute waarden van beide vectoren. We beperken ons tot de speciale relativiteitstheorie.
De componenten van de vector v zijn:



Hieruit volgt dat de absolute waarde van de vector v gelijk is aan:

In de vierdimensionale ruimtetijd kennen we het invariante interval ds:

We kiezen s als de booglengte parameter voor de wereldlijn van iets of iemand. Dan is de eigentijd van die wereldlijn, de tijd die verloopt volgens de meereizende klok, gelijk aan τ:



Zoals je ziet heb ik hier gekozen voor een metriek ημν met een signatuur van (−1, 1, 1, 1), dus een ruimteachtig interval. De componenten van de vector u zijn:



Hieruit volgt dat de absolute waarde van de vector u gelijk is aan:



Indien ik een metriek had gekozen met een signatuur van (1, −1, −1, −1), dus een tijdachtig interval, dan was er precies hetzelfde uitgekomen, maar let op wat hierboven precies staat. Stel dat ik het zo opschrijf:



Hier kan +c2 of −c2 uitkomen, afhankelijk van de signatuur van de metriek en van de waarden voor dt, dx, dy en dz, en daarom staan er ook absoluut-strepen onder het wortelteken. De absolute waarde van u is altijd c. Strikt genomen had ik dus dubbele absoluut-strepen neer moeten zetten:



Verder hebben we de overbekende (toch?) formule voor tijddilatatie (waarin v = | v | ):



Waaruit volgt:



We kunnen de componenten van u dus schrijven als:



En de componenten van v kunnen we schrijven als: