Relativiteitstheorie, vraagstuk 4

Een raket vliegt door een tunnel. De tunnel en de raket zijn even lang. Wanneer de raket in de tunnel is vuurt iemand gelijktijdig twee kanonnen af die bij de ingang en de uitgang van de tunnel staan opgesteld. Wat gebeurt er met de raket?
Er zijn talloze vraagstukken zoals hierboven beschreven. Over auto’s die door garages of tunnels scheuren, mensen die met stokken of ladders door schuren rennen, raketten die elkaar passeren, er zijn legio varianten te bedenken. En altijd zijn er drie essentiële ingrediënten in dit soort problemen:
  1. Er is interactie tussen datgene wat met de ‘ene snelheid’ beweegt (of helemaal ‘niet beweegt’ zoals de tunnel in dit vraagstuk) en datgene wat met de ‘andere snelheid’ beweegt. De interactie bestaat meestal uit kogels die afgevuurd worden of deuren die open en dicht gaan.
  2. Beide ‘dingen’ (raketten, tunnels, auto’s, garages, stokken, ladders, enzovoort) hebben een bepaalde lengte. Er is nooit sprake van een puntmassa of iets dergelijks, maar altijd zijn het dingen die duidelijk een voorkant en een achterkant hebben met een bepaalde afstand ertussen.
  3. En er valt gegarandeerd een keer het woord “gelijktijdig”.
Laten we maar eens beginnen met de tunnel. De lengte van de tunnel noem ik L, en ik kies een tunnel met een lengte van 299 meter en 79 centimeter. Waarom zo’n vreemde lengte? Omdat de snelheid van het licht 299792458 m/s bedraagt betekent dat dat een lichtstraal er precies 1 μs over doet om van het begin van de tunnel naar het eind van de tunnel te reizen. En 1 μs is een mooi rond getal dus dat rekent lekker gemakkelijk. Onthouden: L/c = 1 μs.

Jan

Jan is de cowboy die de kanonnen bedient. En het is logisch dat Jan bij de ingang van de tunnel staat, want daar staat hij er met zijn neus bovenop om te zien of de raket zich helemaal in de tunnel bevindt. Of beter gezegd: of de achterkant van de raket hem al gepasseerd is. In dit vraagstuk staat dat Jan gelijktijdig twee kanonnen afvuurt. Hierin zit gelijk al een geweldige vaagheid die menigeen op het verkeerde been zet. De vraag “Wat is hier gelijktijdig?” kan deze antwoorden oproepen:

In het vraagstuk staat dat Jan de twee kanonnen gelijktijdig afvuurt. Maar is afvuren het indrukken van de ontstekingsmechanismen of het daadwerkelijke vuren van de kanonnen? En wie is de waarnemer van de gelijktijdigheid? Het zal er normaliter om gaan dat de kanonnen gelijktijdig vuren bezien vanuit diegene die de actie initieert, Jan dus. Dit betekent dat Jan vooraf wel even heeft moeten knutselen en oefenen. Want het kanon dat bij de uitgang van de tunnel staat heeft minstens 1 μs nodig om het signaal van Jan te ontvangen (want niets gaat sneller dan het licht) dat het moet vuren en vervolgens gaat er nog 1 μs overheen voordat het vuren van dit kanon het netvlies van Jan bereikt. Jan staat bij de ingang van de tunnel en daar staat ook het andere kanon. Om te zorgen dat beide kanonnen gelijktijdig vuren (vanuit Jan bezien) zal hij toch echt het ontstekingsmechanisme van het kanon bij de uitgang minstens 2 μs eerder in moeten duwen dan het ontstekingsmechanisme van het kanon bij de ingang van de tunnel. Of hij heeft het van te voren zo afgesteld dat het ontstekingsmechanisme van het kanon bij de ingang van de tunnel een vertraging bevat van minstens 2 μs. En deze tijdsvertraging moet hij incalculeren bij het induwen van de ontstekingsmechanismen van de kanonnen, dus hij zal de ontstekingsmechanismen reeds in moeten duwen minstens 2 μs voordat de achterkant van de raket hem passeert en in de tunnel verdwijnt.

Kees

Dus wat is er nou uiteindelijk gelijktijdig? Gelijktijdig met het moment dat de achterkant van de raket Jan passeert en in de tunnel verdwijnt vuren de kanonnen gelijktijdig hun kogels af bezien vanuit Jan. Cowboy Kees, die bij de uitgang van de tunnel staat, zal waarnemen dat het kanon bij de uitgang van de tunnel eerder vuurt dan het kanon bij de ingang van de tunnel. Zonder dat ik nog maar met één woord over de raket gerept heb, en alleen maar cowboys en kanonnen beschouw die niet bewegen ten opzichte van elkaar, is gelijktijdigheid al een begrip met vele haken en ogen. Alleen Jan kan zeggen dat de kanonnen gelijktijdig vuren.

Op een bepaald moment tJan vuren beide kanonnen. Kees staat aan de andere kant van de tunnel, L meter verderop, en voor hem vuurt het kanon dat naast Jan staat later. Zijn tijdsbeleving ten opzichte van die van Jan is:



Alles wat bij Jan gebeurt wordt door Kees 1 μs (L/c) later ervaren. Maar andersom is het net zo:



Het NU van Jan en het NU van Kees lopen asynchroon met een verschil van precies 1 μs. Wanneer het kanon bij Kees vuurt dan bereikt dat 1 μs later het netvlies van Jan en op dat moment vuurt ook zijn kanon. “Precies gelijktijdig!” zegt Jan tevreden. Het vuren van het kanon bij Jan arriveert nog 1 μs later op het netvlies van Kees en bij hem zijn er dan al 2 μs verstreken sinds zijn eigen kanon vuurde. Volgens mij is het de hoogste tijd voor wat plaatjes.

Figuur 1: de verticale assen zijn de tijd-assen van Jan en Kees, de horizontale as is de x-as
(de positie-as) van Jan en Kees, ik heb er eentje getekend, maar ik had er ook duizend kunnen
tekenen, want bij ieder tijdstip (ieder punt op een verticale as) hoort een x-as, de groene
markeringen op de beide tijd-assen geven μs aan


Figuur 2: ik heb op een aantal tijdstippen de tunnel erbij ingetekend in de vorm van een blauwe
balk, ik heb er vier getekend, maar ook hier geldt dat ik er ook wel duizend had kunnen tekenen,
want de tunnel is er uiteraard op ieder tijdstip


Figuur 3: ik heb de lichtkegels toegevoegd die het vuren van beide kanonnen veroorzaken,
gebeurtenis A is het vuren van het kanon bij Kees, gebeurtenis B is de waarneming van
gebeurtenis A door Jan en tegelijkertijd vuurt zijn kanon, gebeurtenis C is de waarneming
van gebeurtenis B door Kees, op zijn tijd-as zijn er dan inmiddels 2 μs verstreken sinds zijn
eigen kanon vuurde (de verticale afstand van A naar C)

Lancering van de raket die door de tunnel gaat vliegen
(Credits: NASA)

Wat weten we van de raket? De raket is even lang als de tunnel, maar hebben we het dan over de bewegende raket (ten opzichte van Jan, Kees en de tunnel) of over de raket wanneer die niet beweegt ten opzichte van de tunnel? Laten we uitgaan van het eerste, de raket (in beweging) is dus net als de tunnel L meter lang. Voor de snelheid van de raket kies ik v = 3/5 c = 0.6 c.

Dat levert een Lorentz-factor γ op van:

De raket in rust is dus γL lang, maar wordt verkort met een factor γ (Lorentz-contractie) door Jan en Kees waargenomen. Voor Jan en Kees is de raket dus γL/γ = L meter lang. De raket vliegt de tunnel in met een snelheid van 0.6 c en wanneer de achterkant van de raket net de tunnel in is gevlogen vuren de kanonnen. Dit moet helemaal goed gaan want in de beleving van Jan en Kees zijn raket en tunnel even lang. Het is de hoogste tijd voor weer wat plaatjes.

Figuur 4: ik heb op vier tijdstippen de raket erbij ingetekend die van links aan komt stormen,
de onderste raket is precies met zijn voorkant bij de ingang van de tunnel, de raket daarboven
is voor de helft in de tunnel, de raket daar weer boven is precies helemaal in de tunnel terwijl
Jan tevreden waarneemt dat de kanonnen gelijktijdig vuren, en de bovenste raket heeft net
de tunnel verlaten


Figuur 5: de schuine blauwe lijnen waar de raketten tussenin ‘geklemd’ zitten zijn de tijd-assen
van de voorkant en de achterkant van de raket, de twee andere blauwe lijnen zijn de x-assen
(positie-assen) van de voorkant en de achterkant van de raket
Is dat raar, twee x-assen voor de raket? Nee, helemaal niet. Ik heb één x-as getekend voor Jan en Kees, maar ik had er net zo goed nog een miljoen bij kunnen tekenen daar waar de tijd-assen een stukje verder zijn in de tijd (dus parallel aan de andere x-as maar dan iets hoger). Voor de raket geldt dat niet anders. En waarom lopen die x-assen van de raket zoals ze lopen? De hoek die tijd-assen maken met lichtstralen (de oranje lijnen, die tekenen we altijd onder een hoek van 45 graden) moet altijd gelijk zijn aan de hoek die positie-assen maken met lichtstralen, met dat verschil dat de tijd-assen steiler dan de lichtstralen lopen en de positie-assen juist minder steil. Iets anders gezegd: de lijn die een lichtstraal weergeeft snijdt de hoek tussen een tijd-as en een positie-as altijd precies doormidden. Om dat even duidelijk te illustreren sloop ik al het overbodige uit figuur 5 weg.

Figuur 6: het licht (de oranje lijn) snijdt de hoek tussen een tijd-as en een bijbehorende positie-as
altijd precies doormidden, oftewel de hoek α1 is gelijk aan de hoek α2, α3 = α4 en α5 = α6
En ik heb nog wat gebeurtenissen gemarkeerd in figuur 5: De snelheid van de raket is 0.6 c en de tunnel is 299.79 meter lang, waaruit volgt dat de raket 299.79/(0.6 c) = 5/3 μs nodig heeft om de afstand van de tunnel af te leggen. Oftewel: de afstand DB = EF = 5/3 μs. Verder wisten we al dat de afstand AE = EC = 1 μs. En de afstand BE = 299.79 meter. Ik ga dit allemaal maar eens overzichtelijk in een aantal tabellen zetten. Allereerst een tabel die de tijdsverschillen aangeeft, dit zijn de verticale afstanden tussen de gebeurtenissen.
∆t [μs] A B C D E F
A 0 1 2 −2/3 1 8/3
B −1 0 1 −5/3 0 5/3
C −2 −1 0 −8/3 −1 2/3
D 2/3 5/3 8/3 0 5/3 10/3
E −1 0 1 −5/3 0 5/3
F −8/3 −5/3 −2/3 −10/3 −5/3 0
Tabel 1
Vervolgens zijn de afstandsverschillen aan de beurt, dit zijn de horizontale afstanden tussen de gebeurtenissen, en die druk ik uit in L.
∆x/L A B C D E F
A 0 −1 0 −1 0 0
B 1 0 1 0 1 1
C 0 −1 0 −1 0 0
D 1 0 1 0 1 1
E 0 −1 0 −1 0 0
F 0 −1 0 −1 0 0
Tabel 2
En tenslotte bereken ik het kwadraat van de ruimtetijd intervallen: s2 = (c∆t)2 − (∆x)2. Deze ga ik uitdrukken in L2.
s2/L2 A B C D E F
A 0 0 4 −5/9 1 64/9
B 0 0 0 25/9 −1 16/9
C 4 0 0 55/9 1 4/9
D −5/9 25/9 55/9 0 16/9 91/9
E 1 −1 1 16/9 0 25/9
F 64/9 16/9 4/9 91/9 25/9 0
Tabel 3
Merk op dat de intervallen AB en BC nul zijn. Gebeurtenis B ligt op de lichtkegel van gebeurtenis A en gebeurtenis C ligt op de lichtkegel van gebeurtenis B, dus dat klopt helemaal. Verder is het interval AD negatief. Ook dat is logisch want gebeurtenis A ligt buiten de lichtkegel van gebeurtenis D en gebeurtenis D ligt buiten de lichtkegel van gebeurtenis A. Deze beide gebeurtenissen kunnen elkaar daarom met geen mogelijkheid beïnvloeden, ze zijn ruimteachtig gescheiden en het ruimtetijd interval dat hen scheidt is negatief.

Willem

In de raket zitten twee cowboys. Cowboy Willem zit helemaal bovenaan in de neuskegel van de raket en cowboy Dirk zit helemaal onderin de raket bij de motoren (en hij heeft oordopjes in). Zij zijn vooraf geïnformeerd over wat er gaat gebeuren en vinden het eigenlijk een waardeloos plan. Zij zien de raket als een raket-in-rust die γL = 374.74 meter lang is.


Dirk

Vervolgens zien ze met een rotgang een tunnel op zich afkomen van L/γ = 239.83 meter lengte (Lorentz-contractie) waar ze doorheen gaan vliegen. En tot overmaat van ramp gaan de kanonnen bij Jan en Kees gelijktijdig afgevuurd worden, zo is hen verteld, op het moment dat ze in de tunnel zijn. “Slecht plan!” zegt Willem. Dirk knikt instemmend. Hoe ervaren Willem en Dirk deze hele operatie?


Figuur 7: nu staan de tijd-assen van Dirk en Willem verticaal, de markeringen op deze assen geven
weer μs aan


Figuur 8: ik heb op een aantal tijdstippen de raket toegevoegd, en ten opzichte van Dirk en Willem
beweegt de raket uiteraard niet


Figuur 9: vanuit de optiek van Dirk en Willem nadert er van voren met hoge snelheid een tunnel

In figuur 4 zagen we een tunnel die van links bestormd werd door een raket, maar nu zien we een raket die van rechts bestormd wordt door een tunnel. De tijd-assen van Jan en Kees hellen net zo veel over naar links als de tijd-assen van Willem en Dirk (voorkant en achterkant van de raket) overhelden naar rechts in figuur 4. Hier hebben we het in de uitleg van paragraaf 4 van het artikel van Einstein over de algemene relativiteitstheorie uitgebreid over gehad: de tangens van de hoek die de hellende tijd-assen maken met de verticale tijd-assen is gelijk aan β = v/c. Nu is het natuurlijk interessant om de gebeurtenissen uit figuur 5 in deze figuur opnieuw een plaats te geven. De volgende gebeurtenissen zijn redelijk simpel aan te geven:


Figuur 10
Maar nu komt de grote vraag: waar bevindt zich gebeurtenis A? Gebeurtenis A ligt op de tijd-as van Kees, dat is aanknopingspunt 1. En gebeurtenis B ligt op de lichtkegel van gebeurtenis A, dat is aanknopingspunt 2. Dus als we een lichtkegel construeren vanaf gebeurtenis B naar de tijd-as van Kees, dan is het snijpunt van deze lichtkegellijn en de tijd-as van Kees gebeurtenis A. Zie het plaatje hieronder.

Figuur 11: gebeurtenis B ligt op de lichtkegel van gebeurtenis A
En zo ziet dat er dan uit. Bij D gaat de raket de tunnel binnen en direct daarna vuurt het kanon bij Kees (gebeurtenis A). Wanneer Willem (voorin de raket) bij Kees arriveert (gebeurtenis E) ziet hij tot zijn opluchting dat het kanon bij Kees allang gevuurd heeft en Willem is nog slechts getuige van wat optrekkende kruitdampen. Alleen Jan ziet dat de kanonnen gelijktijdig vuren en is helemaal blij met zijn perfecte timing. Kees denkt: wat is Jan toch een sufferd, hij liet mijn kanon veel te vroeg afgaan! Tenzij Kees onderlegd is in relativiteitstheorie natuurlijk, dan zal zijn oordeel veel milder uitvallen. Willem en Dirk denken: oef, dat is goed afgelopen! Vanuit gebeurtenis B vertrekt een lichtkegel naar Kees en bij gebeurtenis C ziet Kees dat het kanon van Jan vuurt. Nu willen we natuurlijk weten waar dat punt A zich dan precies bevindt. De tijd die nodig is voor de tunnel om helemaal ‘om de raket heen te schuiven’ is (lengte van de raket)/snelheid = (5/4 L)/(3/5 c) = 25/12 μs. Dus het punt B ligt 25/12 μs boven de x-as. Dat is de tijd die de tunnel nodig heeft om van de voorkant van de raket tot de achterkant van de raket te komen, maar er is ook nog een tijd (lengte van de tunnel)/snelheid = (4/5 L)/(3/5 c) = 4/3 μs nodig voor tunnel en raket om weer helemaal los te komen van elkaar, dat is de tijd van B naar F. Dus het punt F ligt op 25/12 + 4/3 = 41/12 μs boven de x-as. Het hellingsgetal van de tijd-as van Kees is −1/β = −5/3 (want β is het hellingsgetal ten opzichte van de verticale as, dus 1/β is het hellingsgetal ten opzichte van de horizontale as, en het minteken is erbij gekomen omdat de lijn van Kees een dalende lijn is). Het hellingsgetal van de lichtkegellijn is −1 (licht gaat uiteraard met de snelheid van het licht, dus β = 1, en weer een minteken erbij omdat het een dalende lijn is). Ik kan nu de vergelijkingen opschrijven van de tijd-as van Kees en de lichtkegellijn.





Als ik het helemaal netjes had willen doen dan had ik eigenlijk bij de hellingsgetallen (−5/3 en −1) en bij de constanten (41/12 en 25/12) nog een factor 10−6 moeten toevoegen, want de verticale assen (de tijd-assen) staan in μs en de horizontale as is in meters. En zelfs dat behoeft nog een toevoeging, want x staat in deze vergelijkingen niet in eenheden meter maar in eenheden L = 299.79 meter. Het snijpunt van deze twee lijnen is het punt A en dat vinden we door de twee lijnen aan elkaar gelijk te stellen:



Het snijpunt ligt dus bij x = 2L meters vanaf de tijd-as van Dirk. Door dit in te vullen in de vergelijking van de lichtkegellijn of in de vergelijking van de tijd-as van Kees vind ik een t-waarde van 1/12 μs. Vanuit B vertrekt een lichtkegellijn naar de tijd-as van Kees en komt daar aan in C. De vergelijkingen van deze twee lijnen zijn:





Het snijpunt van deze twee lijnen is het punt C en dat vinden we door de twee lijnen aan elkaar gelijk te stellen:



Het snijpunt ligt dus bij x = L/2 meters vanaf de tijd-as van Dirk. Door dit in te vullen in de vergelijking van de lichtkegellijn of in de vergelijking van de tijd-as van Kees vind ik een t-waarde van 31/12 μs. Ik weet nu van alle gebeurtenissen precies waar ze liggen en nu kan ik weer tabellen maken. Allereerst weer een tabel die de tijdsverschillen aangeeft, dit zijn de verticale afstanden tussen de gebeurtenissen.
∆t [μs] A B C D E F
A 0 2 30/12 −1/12 15/12 40/12
B −2 0 6/12 −25/12 −9/12 16/12
C −30/12 −6/12 0 −31/12 −15/12 10/12
D 1/12 25/12 31/12 0 16/12 41/12
E −12/9 9/12 15/12 −16/12 0 25/12
F −40/12 −16/12 −10/12 −41/12 −25/12 0
Tabel 4
Vervolgens zijn weer de afstandsverschillen aan de beurt, dit zijn de horizontale afstanden tussen de gebeurtenissen, en die druk ik weer uit in L.
∆x/L A B C D E F
A 0 −2 −6/4 −3/4 −3/4 −2
B 2 0 2/4 5/4 5/4 0
C 6/4 −2/4 0 3/4 3/4 −2/4
D 3/4 −5/4 −3/4 0 0 −5/4
E 3/4 −5/4 −3/4 0 0 −5/4
F 2 0 2/4 5/4 5/4 0
Tabel 5
En ook nu weer tot slot het kwadraat van de ruimtetijd intervallen: s2 = (c∆t)2 − (∆x)2. Wederom genormaliseerd naar L2.
s2/L2 A B C D E F
A 0 0 4 −5/9 1 64/9
B 0 0 0 25/9 −1 16/9
C 4 0 0 55/9 1 4/9
D −5/9 25/9 55/9 0 16/9 91/9
E 1 −1 1 16/9 0 25/9
F 64/9 16/9 4/9 91/9 25/9 0
Tabel 6
Wat hebben we allemaal bereikt na al dit geteken en gereken? Om te beginnen valt natuurlijk direct op dat tabel 3 en tabel 6 exact dezelfde inhoud hebben. Ik zet ze voor het gemak even naast elkaar:
s2/L2 A B C D E F s2/L2 A B C D E F
A 0 0 4 −5/9 1 64/9 A 0 0 4 −5/9 1 64/9
B 0 0 0 25/9 −1 16/9 B 0 0 0 25/9 −1 16/9
C 4 0 0 55/9 1 4/9 C 4 0 0 55/9 1 4/9
D −5/9 25/9 55/9 0 16/9 91/9 D −5/9 25/9 55/9 0 16/9 91/9
E 1 −1 1 16/9 0 25/9 E 1 −1 1 16/9 0 25/9
F 64/9 16/9 4/9 91/9 25/9 0 F 64/9 16/9 4/9 91/9 25/9 0
Tabel 3 Tabel 6
Alle ruimtetijd intervallen tussen de diverse gebeurtenissen zijn gelijk, zowel in tabel 3 (bezien vanuit Jan en Kees) als in tabel 6 (bezien vanuit Willem en Dirk). We hebben hier een heel raket-en-tunnel-probleem tot in detail uitgewerkt waaaruit ondubbelzinnig blijkt dat ruimtetijd intervallen het enige houvast zijn in de wereld van de relativiteit: de ruimtetijd intervallen zijn waarnemer-onafhankelijk.

Als we verder tabel 1 en tabel 4 met elkaar vergelijken dan zien we dat de tijdsverschillen op de tijd-assen van Jan en Kees (AC, AE, AF, BD, CE, CF en EF) keurig tijdgedilateerd terugkomen in tabel 4 ten opzichte van tabel 1. Daarom zet ik die twee tabellen voor het gemak ook even naast elkaar:
∆t [μs] A B C D E F ∆t [μs] A B C D E F
A 0 1 2 −2/3 1 8/3 A 0 2 30/12 −1/12 15/12 40/12
B −1 0 1 −5/3 0 5/3 B −2 0 6/12 −25/12 −9/12 16/12
C −2 −1 0 −8/3 −1 2/3 C −30/12 −6/12 0 −31/12 −15/12 10/12
D 2/3 5/3 8/3 0 5/3 10/3 D 1/12 25/12 31/12 0 16/12 41/12
E −1 0 1 −5/3 0 5/3 E −12/9 9/12 15/12 −16/12 0 25/12
F −8/3 −5/3 −2/3 −10/3 −5/3 0 F −40/12 −16/12 −10/12 −41/12 −25/12 0
Tabel 1 Tabel 4
Deze tijdsverschillen worden allemaal een factor γ langer waargenomen door Willem en Dirk. En omgekeerd zijn de tijdsverschillen op de tijd-assen van Willem en Dirk (BF en DE in tabel 4) een factor γ langer zoals waargenomen door Jan en Kees (BF en DE in tabel 1).

Ik schreef hiervoor dat op het moment dat Willem bij Kees arriveert (gebeurtenis E) hij nog slechts de kruitdampen waarneemt van het kanon dat reeds gevuurd heeft. Maar wanneer had Willem voor het eerst door dat het kanon bij Kees vuurde? Dat was op het moment dat de lichtkegel van de gebeurtenis A, het vuren van het kanon bij Kees, het netvlies van Willem bereikte, oftewel dat de lichtkegellijn vanuit gebeurtenis A zijn tijd-as bereikte. Dit geef ik nog even aan als gebeurtenis G.

Figuur 12
En waar bevindt dit punt zich precies? De tijd-as van Willem bevindt zich op x = γL = 5/4L. Deze waarde vul ik in in de vergelijking van de lichtkegellijn en vind dan t = −5/4 + 25/12 = 5/6 μs. De gebeurtenis E ligt op 4/3 μs boven de x-as, dus 4/3 − 5/6 = 1/2 μs voordat Willem bij Kees is ziet hij het kanon bij Kees vuren. Daar kan toch geen enkele actiefilm tegenop: een halve μs voordat Willem denkt dat zijn laatste uur geslagen heeft vuurt het kanon bij Kees en kan Willem weer ontspannen ademhalen. Willem is dan vt = 0.6 c × 1/2 μ = 89.94 meter van Kees verwijderd.

En wat is de eindconclusie van dit vraagstuk? De raket blijft ongeschonden voor alle waarnemers: Jan, Kees, Willem en Dirk. Het zou natuurlijk ook heel raar zijn als niet alle waarnemers tot dezelfde conclusie zouden komen. In beide waarnemingssituaties is de raket nog maar voor een (klein) deel in de tunnel als het kanon bij de uitgang al vuurt. Door de lengtes van de raket en de tunnel en de onderlinge snelheid anders te kiezen kan het zelfs zo zijn dat het kanon bij de uitgang al vuurt nog voordat de raket überhaupt bij de tunnel is!

Daarnaast hebben we natuurlijk ook de Lorentz-transformaties tot onze beschikking. Wanneer we figuur 5 er weer bijpakken en ik kies als oorsprong het punt B dan kan ik voor ieder punt de volgende (x, t) coördinaten aflezen, de Jan-Kees coördinaten:
A (1, -1)
B (0, 0)
C (1, 1)
D (0, -5/3)
E (1, 0)
F (1, 5/3)
Tabel 7
Vervolgens neem ik de Lorentz-transformaties ter hand:





Omdat ik alle tijdseenheden en afstandseenheden genormaliseerd heb naar ‘eenheden tunnel’ kan ik in de transformatievergelijkingen invullen dat v = 3/5 en c = 1. Verder weten we dat γ = 5/4. Ik krijg dan de Dirk-Willem coördinaten overeenkomstig figuur 7:
A' (2, -2)
B' (0, 0)
C' (1/2, 1/2)
D' (5/4, -25/12)
E' (5/4, -3/4)
F' (0, 4/3)
Tabel 8
De t-componenten van de Jan-Kees coördinaten (tabel 7) komen overeen met de tweede regel van tabel 1 en de x-componenten met de tweede regel van tabel 2. De t-componenten van de Dirk-Willem coördinaten (tabel 8) komen overeen met de tweede regel van tabel 4 en de x-componenten met de tweede regel van tabel 5. Via deze methode met de transformatievergelijkingen kom ik (uiteraard) tot hetzelfde resultaat maar voor de inzichtelijkheid heb ik dit vraagstuk eerst helemaal via elementaire begrippen uitgewerkt.