Relativiteitstheorie, vraagstuk 2

Hoe bereken je de ontsnappingssnelheid, de snelheid die nodig is om te ontsnappen aan het zwaartekrachtveld van een hemellichaam?

De zwaartekracht (gravitatie) die twee lichamen op elkaar uitoefenen wordt gegeven door een wet van Newton:

Wanneer ik een stukje dr beweeg in dit zwaartekrachtveld dan verricht ik een beetje arbeid dW. Die arbeid wordt gegeven door:



Hierin is φ de hoek tussen Fg en dr. Indien ik aan de zwaartekracht probeer te ontsnappen dan gaat het om de beweging die ik maak evenwijdig aan de veldlijnen van het zwaartekrachtveld. Dan is de hoek φ = 0 en cos φ = 1. De formule voor de arbeid vereenvoudigt daarmee tot:



Alle arbeid die ik in totaal verricht totdat ik ‘los’ ben van de zwaartekracht is de som van al deze beetjes dW, dus ik moet gaan integreren:



Wat zijn de grenzen r1 en r2 van de integraal? Mijn vertrekpunt is het oppervlak van het hemellichaam waar ik op sta, dus dan is r1 = R (R is de straal van dat hemellichaam, bijvoorbeeld de Aarde). En ik wil uiteindelijk helemaal loskomen, dus ik wil naar oneindig toe: r2 = ∞. Daarmee wordt de totale arbeid uiteindelijk:



Dit is de energie die het mij kost om aan de zwaartekracht te ontsnappen. Dus ik heb nu uitgerekend hoeveel energie ik moet investeren, en die energie moet ik aan het begin van mijn reis meekrijgen als kinetische energie (bewegingsenergie). De formule voor kinetische energie is:



Ik ga er hierbij vanuit dat ik in de beginfase van mijn reis flink snelheid maak en vervolgens de motoren uitzet. Dus mijn beginsnelheid is allesbepalend voor hoever ik ga komen. Het kost mij dus energie om te ontsnappen aan de zwaartekracht en die ga ik inbrengen in de vorm van kinetische energie.



Hierin heb ik m1 gekozen als de massa van het hemellichaam en m2 als de massa van mijzelf. Nu ga ik uit deze vergelijking de snelheid oplossen:


Lancering van een Saturnus raket, bedenk dat de raket ruim honderd
meter lang is en de vlammen zich dus bijna een kilometer uitstrekken!
(Credits: NASA)

En zo hebben we de formule voor de ontsnappingssnelheid gevonden. Wanneer we de gegevens van de Aarde invullen dan volgt hieruit v = 11.2 km/s, ruim veertigduizend km/uur!


De Zon met de Maan op de voorgrond
(Credits: NASA)

Om ons zonnestelsel te kunnen verlaten moet de zwaartekracht van de Zon overwonnen worden. Nu is het zaak om de gegevens van de Zon in te vullen. Hieruit volgt v = 618 km/s, meer dan twee miljoen km/uur! Het goede nieuws is dat we niet vertrekken vanaf het oppervlak van de Zon, maar vanaf de Aarde. En de Aarde staat op 150 miljoen kilometer van de Zon, dus dat helpt flink. Als we dan de benodigde snelheid uitrekenen volgt v = 42 km/s. En er is nog meer goed nieuws, de Aarde draait met een snelheid van bijna 30 km/s om de Zon. Door hier handig gebruik van te maken en slim te manoeuvreren langs de andere planeten zijn we echt wel in staat om met onze huidige ‘primitieve’ technieken ons zonnestelsel te verlaten.

Op zich heeft deze vraag over de ontsnappingssnelheid helemaal niets met relativiteitstheorie te maken. Of misschien toch wel? Stel dat ik v gelijk stel aan de lichtsnelheid en daarbij de massa/straal verhouding uitreken:

Als ik hierin de massa van de Zon invul voor m dan volgt daaruit een R van iets minder dan 3 km. Nadat Einstein in 1915 zijn algemene relativiteitstheorie had voltooid lukte het Karl Schwarzschild nog datzelfde jaar om een oplossing te vinden voor de vergelijkingen van Einstein. Uit zijn oplossing kwam duidelijk naar voren dat indien een lichaam een straal heeft waarvoor bovenstaande relatie geldt, dat er dan ‘rare dingen gebeuren’ (een noemer van zijn oplossing wordt gelijk aan nul). Tegenwoordig staat dit bekend als de Schwarzschild-straal en de ‘rare dingen’ zijn nu wereldberoemd als zwarte gaten.


De brief die Schwarzschild aan Einstein stuurde
Vertaling van de brief van Schwarzschild

22.XII.15.

Verehrter Herr Einstein!

XXXUm mit Ihrer Gravitationstheorie vertraut zu werden, habe ich mich näher mit dem von Ihnen in der Arbeit über das Merkurperihel gestellte und in 1. Näherung gelöste Problem beschäftigt. Zunächst machte mich ein Umstand sehr konfus. Ich fand für die erste Näherung der Koeffizienten gμν auβer ihrer Lösung noch folgende zweite:



XXXDanach hätte es auβer Ihrem α noch eine zweite gegeben und das Problem wäre physikalisch unbestimmt. Daraufhin machte ich einmal auf gut Glück den versuch einer volständigen Lösung. Eine nicht zu groβe Rechnerei ergab folgendes Resultat: Es gibt nur ein Linienelement, das Ihre Bedingungen 1) bis 4) nebst Feld- und Determinantengl. erfüllt und im Nullpunkt und nur im Nullpunkt singulär ist.
XXXSei:





dann lautet das Linienelement:



R, θ, φ sind keine „erlaubten“ Koordinaten, mit denen man die Feldgleichungen bilden dürfte, weil sie nicht die Determinante 1 haben, aber das Linienelement schreibt sich in ihnen am schönsten.
XXXDie Gleichung der Bahnkurve bleibt genau die von Ihnen in erster Näherung erhaltene (11), nur muβ man unter x nicht 1/r, sondern 1/R verstehen, was ein Unterschied von der Ordnung 10−12 ist, also praktisch absolut gleichgültig.
XXXDie Schwerigkeit mit den zwei willkürlichen Konstanten α und β, welche die erste Näherung gab, löst sich dahin, daβ β einen bestimmten Wert von der Ordnung α4 haben muβ, so wie α gegeben ist, sonst würde die Lösung bei Fortsetzung der Näherungen divergent.
XXXEs ist also auch die Eindeutigkeit Ihres Problems in schönster Ordnung.
XXXEs ist eine ganz wunderbare Sache, daβ von einer so abstrakten Idee aus die Erklärung der Merkur-anomalie so zwingend herauskommt.
XXXWie Sie sehen, meint es der Krieg freundlich mit mir, indem er mir trotz heftigen Geschützfeuers in der durchaus terrestrischer Entfernung diesen Spaziergang in dem von Ihrem Ideenlande erlaubte.

22.XII.15.

Geachte heer Einstein!

XXXOm met uw gravitatietheorie vertrouwd te raken, heb ik mij nader bezig gehouden met datgene wat u stelt in uw werk over het Mercuriusperihelium en het in eerste benadering opgeloste probleem. Aanvankelijk bracht één aspect mij zeer in verwarring. Ik vond voor de eerste benadering van de coëfficiënten gμν behalve uw oplossing nog de volgende tweede:



XXXDaarna was er behalve uw α nog een tweede en het probleem zou daardoor fysiek onbepaald zijn. Vervolgens deed ik eens op goed geluk een poging tot een exacte oplossing. Een niet zo omvangrijke berekening leverde het volgende resultaat: er is slechts één lijnelement, dat aan uw voorwaarden 1) tot 4) naast Veld- en Determinantenvergelijking voldoet en in de oorsprong, en alleen in de oorsprong, singulier is.
XXXDoor te stellen:





dan wordt het lijnelement:



R, θ, φ zijn geen „toegestane“ coördinaten, waarmee men de veldvergelijkingen zou mogen opstellen, omdat ze niet de determinant 1 hebben, maar het lijnelement laat zich daarmee het mooist opschrijven.
XXXDe vergelijking van de baankromme blijft precies zoals de door u in eerste benadering gevonden (11), alleen moet men voor x niet 1/r maar 1/R lezen, hetgeen een verschil in de orde van grootte van 10−12 is, dus praktisch absoluut verwaarloosbaar.
XXXHet probleem met de twee willekeurige constanten α en β, die uit de eerste benadering volgden, lost zich als volgt op, dat β een bepaalde waarde van de orde α4 moet hebben, zodra α bekend is, omdat anders de oplossing bij volgende benaderingen divergent zou worden.
XXXAldus is ook de eenduidigheid van uw probleem helemaal in orde.
XXXHet is een bijzonder wonderbaarlijk iets, dat vanuit een zo abstract idee de verklaring van de Mercurius-afwijking zo dwingend naar voren komt.
XXXZoals u ziet, is de oorlog mij goedgezind, aangezien hij het mij toestond om ondanks het hevige kanongebulder in de verte een wandeling te maken in uw ideeënlandschap.
Hierboven zie je de brief die Schwarzschild aan Einstein stuurde in december 1915. Let op de factor (1 − γ/R), indien die nul wordt dan heb je de Schwarzschild-straal en γ is dus 1.485 ∙ 10-27 maal de massa (zie vergelijking (9)), oftewel de horizon van een zwart gat.