Relativiteitstheorie, vraagstuk 1

Waarom merk je in het dagelijks leven niets van de effecten van de relativiteitstheorie?

Voor het tot uiting komen van relativistische effecten is de Lorentz-factor γ essentieel:

Hierin is β:

Stel, ik ben aan het fietsen met een snelheid v = 18 km/uur. Dat is 18000 meter per 3600 seconden = 5 m/s. Mijn snelheid ten opzichte van de lichtsnelheid is dan: β = v/c = 5/299792458 = 0.000000016678. Daarmee voel je waarschijnlijk al aan welke kant het op gaat, want daaruit volgt dat β2 = 0.00000000000000027816. De wortel van (1 − x) is bij goede benadering gelijk aan (1 − x/2) voor kleine x, en zoals je ziet is x (de β2) hier heel klein wat de goede benadering alleen nog maar beter maakt. Dus de wortel uit (1 − 0.00000000000000027816) is bij heel goede benadering gelijk aan (1 − 0.00000000000000027816/2) = (1 − 0.00000000000000013908) = 0.99999999999999986092. Vervolgens nemen we daar nog de reciproke waarde van en we komen zo tot een Lorentz-factor γ = 1.00000000000000013908. Er staan maar liefst vijftien nullen achter de komma! Wanneer ik tijdens het fietsen iemand langs de kant van de weg zie staan dan zijn de relativistische effecten (tijddilatatie, Lorentz-contractie) ergens bij 10−16 merkbaar. Kortom, daar merk je totaal helemaal niets van!

In onderstaande tabel staan voor oplopende snelheden de β en γ waarden gegeven.
v [m/s] β γ
0 0.0000000000000 1.00000000000000000
1 0.0000000033356 1.00000000000000001
3 0.0000000100069 1.00000000000000006
10 0.0000000333564 1.00000000000000056
30 0.0000001000692 1.00000000000000501
100 0.0000003335641 1.00000000000005564
300 0.0000010006923 1.00000000000050070
1000 0.0000033356410 1.00000000000556326
2998 0.0000100002516 1.00000000005000252
10000 0.0000333564095 1.0000000005563
29979 0.0000999991801 1.0000000049999
100000 0.0003335640952 1.0000000556325
299792 0.0009999984723 1.0000004999987
1000000 0.0033356409520 1.0000055632967
2997925 0.0100000014010 1.0000500037643
10000000 0.0333564095198 1.0005567897052
29979246 0.1000000006671 1.0050378153269
100000000 0.3335640951982 1.0607520004442
299792457 0.9999999966644 12243.21149
299792458 1.0000000000000
Of in grafiekvorm (horizontaal staat β en verticaal staat γ):

Figuur 1: γ als functie van β

Voyager
(Credits: NASA)

Ruimtevaartuigen die de Aarde verlaten en op weg gaan naar andere hemellichamen hebben een ontsnappingssnelheid van 11 km/s nodig om te zorgen dat ze het zwaartekrachtveld van de Aarde definitief kunnen ontvluchten. Door bepaalde langsvlieg manoeuvres bij passages van andere planeten hebben sondes zoals de Voyager 1 en Voyager 2 hun beginsnelheid nog wat op kunnen krikken. Maar ook al zijn ze nu recordhouders als ‘snelste apparaten van de mensheid’, toch zitten ze nog ruim onder de 20 km/s. Met alle respect, maar relativistisch stelt dit nog niets voor.


De Large Hadron Collider (LHC)
(Credits: CERN)

Deeltjes versnellen is een heel ander verhaal. Elektronen en protonen kunnen we tegenwoordig versnellen tot zeer dicht bij de lichtsnelheid, maar dan hebben we het over zeer kleine deeltjes die met indrukwekkende apparaten van tientallen kilometers groot (en ten koste van miljarden euro’s) opgejaagd worden.

Nee, in onze dagelijkse huis-tuin-en-keuken wereld merken wij helemaal niets van de relativiteitstheorie. We zijn gewoon veel en veel te langzaam. Eigenlijk zijn we net zo traag als de spreekwoordelijke slak.