Kwantummechanica, vraagstuk 1

Hoe bereken je het Casimir-effect?

Het Casimir-effect is vernoemd naar onze landgenoot Hendrik Casimir. In 1948 publiceerde hij een artikel met daarin de afleiding voor dit effect:

We volgen de afleiding zoals Casimir die in zijn artikel uiteen heeft gezet. Hij gaat uit van een kubus die gemaakt is van een perfect geleidend materiaal, iedere ribbe van de kubus heeft de lengte L, en in de kubus bevindt zich een vierkante plaat parallel aan het x-y-vlak (het x-y-vlak is een bepaalde zijde van de kubus). Deze plaat is van hetzelfde perfecte geleidende materiaal gemaakt, kan bewegen in de z-richting, en de afstand tot het x-y-vlak noemen we a. We gaan er van uit dat de lengte L zeer groot is ten opzichte van de golflengtes van de kwamtum-verschijnselen in de kubus. Voor de ruimte R tussen de beweegbare plaat en het x-y-vlak geldt:







Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:

In lijn met het onzekerheidsprincipe van Heisenberg, want dat principe eist dat de energie in een ruimte nooit exact nul kan worden omdat dat zekerheid zou geven over de hoeveelheid energie in die ruimte, verschijnen er aan de lopende band energietjes (virtuele deeltjes). Al deze energietjes, ieder met een willekeurige frequentie f, voldoen uiteraard aan de wet van Planck:

In de ruimte R kunnen alleen die energietjes bestaan/overleven waarvan een geheel aantal halve golflengten passen tussen de wanden van de ruimte, want anders is er geen staande golf en dooft de golf uit. De golflengte is λ en er geldt dus (waarbij n een positief geheel getal is):







Voor het golfgetal k geldt:



Let op: het golfgetal komt in de literatuur en op internet ook voor als simpelweg de reciproke van de golflengte, dus zonder de factor 2π. Casimir gebruikt hier wel de factor 2π en daarom doe ik het natuurlijk ook. Hiermee worden de vergelijkingen (3):







Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



En tevens geldt:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Ik stel:



Daarmee wordt vergelijking (6):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



In de x-richting en in de y-richting kan iedere willekeurige frequentie/golflengte zich vormen, maar niet in de z-richting want daar vormen zich alleen die golven waarvan een geheel aantal halve golflengten tussen de platen past. Indien ik alle energie tussen de platen (die gevormd wordt door de virtuele deeltjes) wil bepalen dan zal ik al die frequenties/golflengten moeten optellen (de factor half staat er bij in omdat het om veelvouden van halve golflengten gaat):



Dit zijn de frequenties tussen de platen. Om hier energie van te maken moet ik vermenigvuldigen met de constante van Planck:



En dit is nog niet de hele waarheid, want de virtuele deeltjes hebben twee vrijheidsgraden in hun polarisatie. Daarom moet ik ook nog vermenigvuldigen met een factor twee:



In de x-richting en de y-richting kan n iedere waarde aannemen (niet noodzakelijkerwijs een geheel getal), en daarom verandert vergelijking (11) in:



Met behulp van de vergelijkingen (5) kan ik ook schrijven:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Voor nz = 0 is er maar één polarisatiemogelijkheid (in plaats van twee). Casimir sleept in zijn afleiding telkens een factor half mee voor nz = 0 (zoals het eigenlijk hoort) maar omdat dat uiteindelijk toch geen invloed heeft op het eindresultaat heb ik dat (voor de overzichtelijkheid) weggelaten.

Ik ga nu overstappen op poolcoördinaten. Voor een infinitesimaal oppervlakje dA geldt in Cartesische coördinaten respectievelijk poolcoördinaten:



Dit vertaal ik als volgt naar het probleem dat we hier proberen op te lossen:





En dat ga ik toepassen in vergelijking (13):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Voor de energie buiten de platen is het ook een kwestie van frequenties sommeren, maar daar kan ik ook in de z-richting integreren omdat nz daar iedere waarde kan aannemen (niet noodzakelijkerwijs een geheel getal):



Het energieverschil tussen binnen-de-platen en buiten-de-platen is het verschil van de vergelijkingen (16) en (17):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Ik introduceer een nieuwe variabele u:



Waaruit volgt:





Hiermee ga ik vergelijking (18) omschrijven:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Ik introduceer nogmaals een nieuwe variabele, w:



Dit verandert vergelijking (22) in:



Er is niet zo heel veel fantasie voor nodig om in te zien dat bovenstaande integralen het onbruikbare antwoord oneindig op gaan leveren. Hoe nu verder? Dit vraagt om een truc: renormalisatie (het wegwerken van oneindigheden). Ik stel:



Dan wordt (24):



Ik introduceer een functie g binnen de functie f:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Voor deze functie g eis ik het volgende:



Ik kan de functie g bijvoorbeeld simpelweg een e-macht meegeven die er voor zorgt dat voor lage waarden van w de functiewaarde één is, maar dat de functiewaarde naar nul nadert voor hoge waarden van w. De rechtvaardiging voor het invoegen van de functie g is:

  1. oneindig bestaat niet in de werkelijkheid maar alleen in onze wiskundige abstracties,
  2. voor hoge frequenties (Casimir noemt röntgenstraling als voorbeeld) worden de platen transparant,
  3. zoals we de wereld nu zien gaan we er van uit dat de Planck-eenheden grenzen zijn van de natuurkunde zoals we die nu kennen, 1/Planck-tijd (bijvoorbeeld) zou dan logischerwijs een maximale frequentie zijn.
Kortom, er moet wel ergens een limiet zijn aan het aantal op te tellen frequenties en die brengen we er in middels de functie g. Hierdoor kan ik de integraal van vergelijking (27) wél oplossen, want ik ga er nu van uit dat de primitieve functie nul is voor w = ∞ (en dat is inderdaad lang niet altijd waar, bijvoorbeeld de functies f (x) = 0 en f (x) = 1/x zijn nul in oneindig maar de primitieve functies zijn daar zeker niet nul want in het eerste geval is F (x) = c en in het tweede geval is F (x) = ln x, kortom, op het betoog van meneer Casimir is hier nog wel het een en ander op te merken (maar zijn eindresultaat klopt wel hoor)):



Dit resultaat vul ik in in (26):

Brengt dit een oplossing dichterbij? Jawel! We gaan gebruik maken van de Euler-Maclaurin formule:

Hierin zijn de B’s de Bernoulli-getallen (B1 = −1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = −1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = −1/30, B9 = 0, B10 = 5/66, enzovoort).

Voor a en b vullen we nul respectievelijk oneindig in:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Ik ga eens even wat afgeleiden bepalen:









Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



En alle hogere afgeleiden zijn uiteraard ook nul. Merk op dat indien ik hiervoor die vervelende oneindig er niet uit gewerkt had, dat die er dan nu wel uit gevallen zou zijn. Oneindig is immers gewoon een getal (een heeeeeeeeeeeeeeeeeel groot getal weliswaar, maar desalniettemin een getal) en de afgeleide van een getal, een constante, is nul. Dit ga ik gebruiken in vergelijking (32) en ik vul ook de Bernoulli-getallen in:



Hiermee wordt de oplossing van (30):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Door deze (verschil)energie te differentiëren naar de afstand a krijg ik de kracht:



Per vierkante meter plaat wordt dit:



We weten dat:



Waarna een rekenmachine ons vertelt:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Casimir:



Twee opmerkingen tot slot: