Relativiteitstheorie rekenkundig, hoofdstuk 4: de zaklamp

Het jongetje in de trein, Tim, heeft geen zin meer om met het balletje te spelen en haalt een zaklamp te voorschijn. Met de zaklamp schijnt hij door de treincoupé. Jan, die in het weiland staat en natuurkundig onderlegd is, ziet dat gebeuren en realiseert zich het volgende. Toen Tim nog met het balletje aan het spelen was nam hij een hogere snelheid waar voor het balletje, dan zoals Tim dat waarnam, omdat voor hem de snelheid van de trein onderdeel was van de snelheid van het balletje. Maar nu Tim met een zaklamp aan het spelen is liggen de zaken heel anders. Hij én Tim moeten de lichtstralen die uit de zaklamp komen met dezelfde snelheid waarnemen omdat licht altijd en overal door iedereen met dezelfde snelheid wordt waargenomen. Ditmaal ziet de situatie er schematisch zo uit:

Voor Tim ziet de wereld er zo uit, want hij heeft niets te maken met de voortdenderende trein:
Snelheid is afgelegde weg gedeeld door de tijd die verstreken is gedurende het afleggen van die weg. Indien je na twee uur (de verstreken tijd) autorijden 180 kilometer (de afgelegde weg) hebt afgelegd dan was je gemiddelde snelheid 180 gedeeld door twee is 90 kilometer-per-uur. Je kunt dat ook zien aan de eenheden die wij kennen voor snelheid, zoals kilometer-per-uur of meter-per-seconde of miles-per-hour. Het zijn allemaal afstanden-per-tijdseenheid. Dus snelheid is afgelegde weg gedeeld door verstreken tijd. Toen het jongetje nog met het balletje speelde nam Jan een hogere snelheid waar (dan het jongetje) want vanuit zijn positie gezien legde het balletje een langere weg af (tijdens het rollen van het balletje reed de trein voort). En meer afgelegde weg impliceert een hogere snelheid. Maar nu het jongetje met een zaklamp aan het spelen is openbaart zich een groot conflict. Indien Jan een hogere lichtsnelheid zou waarnemen dan het jongetje dan schendt hij de constantheid van de lichtsnelheid. Zowel Jan als het jongetje moeten de lichtstralen die uit de zaklamp komen met dezelfde snelheid waarnemen, ongeacht wat de snelheid van de trein is.
Of wat meer schematisch:

Het toepassen van de stelling van Pythagoras illustreert duidelijk het probleem:



Omdat snelheid simpelweg afgelegde weg gedeeld door verstreken tijd is, en er aan de snelheid van het licht niet te tornen is, moet Jan wel de conclusie trekken dat de afgelegde weg en de verstreken tijd in de trein anders zijn dan bij hem in het weiland want andere variabelen zijn er niet. Om preciezer te zijn, de afgelegde weg en de verstreken tijd in de trein zijn korter dan bij hem in het weiland, want de snelheid kan niet omhoog (zoals bij het balletje) dus moeten de afgelegde weg en de verstreken tijd omlaag. Wat gebeurt er nu precies? Daarvoor breng ik bij bovenstaand schema de tijd erbij in, en ik maak onderscheid tussen de tijd in de trein (bij Tim) en de tijd buiten de trein (bij Jan):
Nu kan ik wél de stelling van Pythagoras toepassen:



Ik stel:



Daarmee wordt vergelijking (2):

Met andere woorden: afstanden worden korter en tijd loopt langzamer (dit laatste heet officieel tijddilatatie). De adembenemende conclusie van Jan (en ruim honderd jaar geleden ook van Einstein) is de volgende: in een bewegend systeem krimpen tijd en afstand voor een waarnemer buiten dat systeem.