Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 21

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk E.

Paragraaf 21:
De theorie van Newton als eerste benadering.

Principia

Het is 1687 wanneer de eerste uitgave (350 exemplaren) van het boek Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, kortweg Principia, van Isaac Newton beschikbaar komt. In dit boek beschrijft Newton onder andere de zwaartekracht en hij laat de wereld tevens zijn gravitatiewet na:

Nu, ruim driehonderd jaar later, leert iedere scholier op het voortgezet onderwijs met natuurkunde in zijn/haar pakket nog steeds de werking van de zwaartekracht middels die gravitatiewet van Newton. Ook echte wetenschappers maken in overgrote meerderheid nog altijd gebruik van Newton’s wet, want die is simpel en voldoet eigenlijk altijd.

Einstein wist dit uiteraard en besefte terdege dat zijn relativiteitstheorie in ‘gewone huis-tuin-en-keuken-gevallen’ in overeenstemming diende te zijn met de gravitatiewet van Newton om de doodeenvoudige reden dat berekeningen met Newton’s wet heel erg goed overeenstemmen met de werkelijkheid. Oftewel, de gravitatiewet van Newton dient als hele goede benadering uit de bus te komen voor de relativiteitstheorie van Einstein. In deze paragraaf gaat Einstein aan de slag om deze overeenkomst aan te tonen.

Einstein merkt nogmaals op dat de speciale relativiteitstheorie een specifiek geval van de algemene relativiteitstheorie is, en zich daardoor kenmerkt dat de metrische tensor g in dat geval de volgende vorm aanneemt (zie paragraaf 4):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Met andere woorden: in een dergelijk geval is iedere gravitatiewerking afwezig. Een benadering die dichter bij de werkelijkheid komt is wanneer de gμν maar een beetje van nul of één afwijken, waarbij “een beetje” door Einstein gedefinieerd wordt als een eerste orde afwijking. Afwijkingen van tweede - en hogere orde worden dus verwaarloosd en hij noemt dit het eerste uitgangspunt van de benadering (de benadering van de algemene relativiteitstheorie die moet leiden tot de gravitatiewet van Newton). Verder nemen we aan dat de gμν in het oneindige de waarden van (4.47/E4) aannemen en dat alle afwijkingen van de gμν (afwijkingen van (4.47/E4)) het gevolg zijn van massa die zich op eindige afstanden bevindt (waarbij ‘eindig’ natuurlijk een rekbaar begrip is maar Einstein gaat er van uit (en ik ook) dat je gevoelsmatig wel snapt wat hij bedoelt).

Met deze aannames zouden we op Newton’s theorie uit moeten komen maar Einstein komt met nog een tweede uitgangspunt. Volgens de volgende wet van Newton bepaalt de kracht die wordt uitgeoefend op een object de versnelling (snelheidsverandering) van dat object:



Volgens bovenstaande wet van Newton beweegt ieder object waar geen kracht op wordt uitgeoefend (F = 0) zich met constante snelheid langs een rechte lijn (en in de Newtonse benadering is de massa constant):



Dit gaan we vergelijken met vergelijking (13.4/E46) uit paragraaf 13:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



In onze dagelijkse ervaring treden alleen maar snelheden op die veel kleiner zijn dan de snelheid van het licht (v c) en dit betekent dat zowel voor een eerste orde als tweede orde benadering geldt:



En we kunnen daarom tevens stellen dat:







Snelheden hebben dan de bekende vorm:



De componenten van de snelheid (datgene wat in (21.6) onder het wortelteken tussen de haakjes staat, oftewel de vergelijkingen (21.5)) zijn dan tevens als ‘klein’ aan te merken (klein ten opzichte van de lichtsnelheid). Dat dx4/ds bij goede benadering gelijk is aan één is het tweede uitgangspunt van Einstein’s benadering. Samengevat:
  1. de gμν wijken slechts tot eerste orde af van nul of één,
  2. dx4/ds is gelijk aan één.
Omdat volgens de tweede aanname geldt dat ds ≈ dx4 gaat vergelijking (13.4/E46) over in:



In de rechterterm van deze vergelijking wordt gesommeerd over de indices μ en ν die allebei de waarden 1, 2, 3, 4 doorlopen (dus zestien combinaties in totaal). Maar aangezien we net geconcludeerd hebben dat de componenten van de snelheid, volgens vergelijking (21.6), klein zijn (ten opzichte van de lichtsnelheid) zal de term waarbij μ = ν = 4 dominant zijn. We kunnen dus ook schrijven:



En dat kan ik ook schrijven als:



Vergelijking (21.9) ga ik splitsen:





Dus waar Newton zegt dat een vrij deeltje (een deeltje waar geen krachten op inwerken) een rechte lijn volgt:



Daar zegt Einstein dat een vrij deeltje een geodetische lijn volgt:



Het is nu wel heel interessant om vergelijking (21.10a) aan een nader onderzoek te onderwerpen. Ik ga daarom die vergelijking nog verder uitschrijven:



Vervolgens stelt Einstein ook nog dat het gravitatieveld quasi-statisch is, want we hebben hiervoor immers aangenomen dat alle snelheden ver beneden die van de lichtsnelheid liggen (dus ook de snelheden van de massa’s die zwaartekracht genereren). Daardoor kan ik de eerste term aan de rechterkant van bovenstaande vergelijking verwaarlozen omdat dat een afgeleide naar de tijd (x4 = t) is:



Het is tegenwoordig gebruikelijk dat Latijnse indices alleen over de drie ruimtelijke dimensies ‘lopen’ en Griekse indices over alle vier dimensies. Dat was in de tijd van Einstein nog niet het geval en daarom zal ik bovenstaande vergelijking even schrijven volgens Einstein’s notatie:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Door hier Newton’s theorie tegenover te zetten met zwaartekracht ontstaat:



Zoals in eerdere paragrafen al opgemerkt is het zwaartekrachtveld een conservatief veld en bestaat er dus een potentiaalfunctie voor het zwaartekrachtveld en die noem ik φ:



Dan kan ik (21.14) ook schrijven als:



Door (21.13) en (21.16) met elkaar te vergelijken kom ik tot:



Vervolgens merkt Einstein terecht op dat het op zich merkwaardig is dat in eerste benadering alleen de component g44 van de metrische tensor de uitkomst van de bewegingsvergelijking (21.13) bepaalt.

Nu richt Einstein zich op de veldvergelijkingen uit paragraaf 16:





Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



De volgende stap is om een benadering te vinden voor de energietensor T. In paragraaf 19 vonden we:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



De indices α en β doorlopen ook hier allebei de waarden 1, 2, 3, 4 (dus zestien combinaties in totaal), maar net zoals in het voorgaande is de dominante component die waarbij α = β = 4. Bovendien is de energie van de materie (E = mc2) normaliter dominant over de energie van de druk (dus ρ p). We kunnen dus ook schrijven:



Oftewel:



Dit tussenresultaat vul ik in in (16.32/E53):

Vervolgens schrijf ik de Christoffel-symbolen iets anders op:



Nu ga ik de Christoffel-symbolen omschrijven van de tweede soort naar de eerste soort:



Voor de Christoffel-symbolen van de eerste soort geldt:



Je zou dus kunnen zeggen dat de eerste term aan de linkerkant van vergelijking (21.22) gμν’s bevat tot de tweede macht en de tweede term bevat gμν’s tot de vierde macht. Omdat de gμν’s die niet op de diagonaal liggen heel klein zijn zal de eerste term daarom veel meer bijdragen dan de tweede term. Bij goede benadering kunnen we dus stellen dat:



Omdat in deze paragraaf de componenten van de metrische tensor die op de hoofddiagonaal liggen dominant zijn gaat dit over in:



Er zit helaas niets anders op dan dit helemaal uit te schrijven:



We kiezen natuurlijk weer voor die termen waarvoor geldt dat μ = ν = 4:



En om dezelfde reden als hiervoor gooien we alle afgeleiden naar de tijd (x4 = t) weer overboord:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Met een kleine aanpassing kan ik ook schrijven:



En door daar vergelijking (21.17) in in te vullen kom ik tot:

Hetgeen overeenkomt met de vergelijking van Poisson die we in paragraaf 16 al tegenkwamen:



Uit de combinatie van (16.17) en (21.30) volgt:



Omdat in de component g44 een factor c2 zit verwerkt (die in dit artikel op één gesteld is) moet (21.31) eigenlijk zijn:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Einstein gebruikt hier de letter K om de gravitatieconstante mee aan te geven waar tegenwoordig de letter G gebruikelijk is. Daarnaast komt Einstein op een andere exponent uit omdat hij met centimeters en grammen rekent, terwijl tegenwoordig meters en kilogrammen de standaard zijn.

In zijn artikel doet Einstein het voorgaande trouwens op een iets andere manier. Hij schrijft de potentiaal van het zwaartekrachtveld eerst als volgt, waarbij hij gebruik maakt van de gravitatiewet van Newton en van de vergelijking van Poisson (dτ is een infinitesimaal stukje volume):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Vervolgens schrijft hij de potentiaal van het zwaartekrachtveld nog een keer op, maar dan alleen gebruik makend van de gravitatiewet van Newton (waarbij K de oude aanduiding is voor G en ik gooi gelijk de factor c2 erin):



Omdat (21.33/E68a) en (21.34) overeen moeten komen volgt hieruit wederom:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En Einstein is hier een beetje kort door de bocht, want in de energietensor zit ook nog een factor c2. We vonden vergelijking (21.19) en die zegt:



Maar met E = mc2 bij de hand is duidelijk te zien dat hier een factor c2 bij moet om tot energie te komen:



Door deze factor c2 ook nog mee te nemen in de hele afleiding komen we tot:



We kunnen voor de zekerheid nog even een dimensiecheck doen:





Door deze twee eenheden met elkaar te vermenigvuldigen komen we uit op meters en dat is uiteraard de eenheid van de tensor G aan de linkerkant van de veldvergelijkingen omdat die de ruimte beschrijft.

Dit brengt ons aan het einde van een relatief simpele etappe en nu kunnen we beginnen aan de slotetappe: de laatste paragraaf van het artikel van Einstein over de algemene relativiteitstheorie.