Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 19

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk D:
De “materiële” gebeurtenissen.


Paragraaf 19:
De Euler-vergelijkingen voor wrijvingsloze adiabatische vloeistoffen.

In deze paragraaf begint Einstein ineens over vloeistoffen te spreken. Ik vind het een nogal onverwachte wending om in dit verhaal over ruimtetijd en zwaartekracht het onderwerp te verplaatsen naar, of te koppelen aan, net hoe je het noemen wilt, vloeistoffen maar Einstein ziet wel degelijk overeenkomsten.

Waarin onderscheidt een vloeistof zich van een vaste stof? Een vaste stof heeft een vaste vorm terwijl een vloeistof zich vloeit naar de vorm van de omhulling waarin het zich bevindt. En stel dat ik een bak met water heb dan kan ik gemakkelijk met mijn vinger ‘een gaatje prikken’ in het water, oftewel de vorm van het water past zich heel gemakkelijk aan onder invloed van de krachten die er op uitgeoefend worden. Dit in tegenstelling tot een plank of muur waar ik met geen mogelijkheid een gaatje in zal kunnen prikken met mijn vinger. In een plank of in een baksteen zit ‘iets’ dat voorkomt dat ik er zomaar doorheen prik. Dit ‘iets’ heeft te maken met schuifspanningen. In vloeistoffen kunnen de deeltjes waaruit die vloeistof bestaat met groot gemak langs en over elkaar schuiven in tegenstelling tot de deeltjes in een vaste stof. Vloeistoffen kunnen niets met schuifspanningen, ze kunnen schuifspanningen niet weerstaan noch vasthouden. Stroperige vloeistoffen, zoals stroop, honing en drijfzand, doen nog wel hun best om enige weerstand te bieden maar hun vloeistof-lot zegt dat dit tevergeefs is. Deze stroperigheid noemen we viscositeit. Verder wil ik nog opmerken dat technisch gesproken een gas ook een vloeistof is.

Wanneer de deeltjes met oneindig gemak langs en over elkaar kunnen bewegen dan spreken we over een wrijvingsloze vloeistof. In de dagelijkse praktijk komen wrijvingsloze vloeistoffen alleen bij benadering voor. Water bijvoorbeeld lijkt wel heel erg wrijvingsloos maar is het toch echt niet. Een vloeistof die wel honderd procent volledig wrijvingsloos is noemen we supervloeibaar. Supervloeibaarheid kennen we alleen van helium wanneer dit wordt afgekoeld tot vlak boven het absolute nulpunt (‘normaal’ helium, helium-4, wordt supervloeibaar bij een temperatuur van ongeveer 2 K en de isotoop helium-3 bij ongeveer 0.01 K).

In de natuurkunde kun je alles als een proces beschouwen. Of je slaapt of op een stoel zit of aan het fietsen bent, je kunt alles aanduiden als een proces. Voor een proces kan energie nodig zijn, dat heet endo-energetisch, of er kan energie bij vrijkomen, dat heet exo-energetisch. Deze energie zal zich vaak manifesteren als warmte en dan spreken we van endotherm respectievelijk exotherm (met “therm” wordt warmte aangeduid, een thermometer is een warmtemeter). Die warmte zal op haar beurt ergens vandaan komen of ergens naar toe gaan en dat ‘ergens’ heet de omgeving. Echter, de omgeving kan zeer klein zijn of het proces kan zo snel verlopen dat er voor warmteuitwisseling gewoonweg geen tijd is. Wanneer je aan het fietsen bent met een goed geïsoleerde jas aan dan is er maar heel weinig ruimte waar de warmte die bij het fietsen vrijkomt naar toe kan. Het gevolg zal zijn dat heel snel het zweet op je rug staat. Zou je gaan fietsen in een duikerspak dan is er helemaal geen mogelijkheid meer voor de warmte om ergens heen te gaan (indien het duikerspak maar strak aansluit en goed genoeg geïsoleerd is dan kun je zeggen dat de omgeving van het proces nul is). In dit geval zal de temperatuur van je lichaam onvermijdelijk oplopen want de warmte blijft in het proces. Bij een ontploffing verloopt het proces heel snel en loopt de temperatuur in de ontploffing snel op want de warmte heeft ‘geen tijd om te vertrekken’ (uiteindelijk natuurlijk wel maar dat is pas na relatief lange tijd). Een proces waarbij geen warmteuitwisseling plaatsvindt met de omgeving heet adiabatisch. Het kan ook zijn dat een proces niet adiabatisch is maar wel bij benadering. In dergelijke gevallen is het dan een stuk eenvoudiger om aan zo’n proces te rekenen door van die adiabatische benadering uit te gaan. Eigenlijk is adiabatisch per definitie een benadering want geen enkel proces staat exact honderd procent los van de omgeving.

De titel van deze paragraaf noemt “wrijvingsloze adiabatische vloeistoffen” maar zowel “wrijvingsloos” als “adiabatisch” zijn in de praktijk benaderingstermen. Zou er wel wrijving zijn dan betekent dat dat er warmteontwikkeling is op het grensvlak van de vloeistof en het ‘ding’ waar de vloeistof in zit en dat verstoort het adiabatisch-zijn van de vloeistof.

Nou, dan gaan we ons maar eens verdiepen in de eveneens boeiende wereld der vloeistoffen. Om te beginnen stellen we ons een infinitesimaal kubusje vloeistof voor, een ‘vloeistofdeeltje’, met zijden dx, dy en dz:


Figuur 19.1
Het volume van dit kubusje is:



Verder heeft dit kubusje een heel klein beetje massa dm. Voor de dichtheid ρ geldt:



Oftewel:



Nu ga ik een assenstelsel aanleggen en ik plaats de oorsprong van het assenstelsel in het midden van het kubusje:


Figuur 19.2
De volgende stap is om te bepalen welke krachten er allemaal op dit kubusje inwerken en voor de eenvoud kijk ik eerst alleen in de x-richting. Het is later een simpele stap om het resultaat uit te breiden naar de y-richting en de z-richting.

Om te beginnen is er natuurlijk de zwaartekracht. We laten de relativistische wereld even voor wat ie is en gebruiken de zwaartekrachtwet van Newton (de index A staat voor Aarde):



En als ik dit combineer met (19.3) krijg ik:



Daarnaast ondervindt dit vloeistofkubusje ook allerlei duw- en trekwerk van de aangrenzende vloeistof. Dit zijn de trekspanningen σ en die vinden plaats aan het oppervlak van de kubus en staan daar loodrecht op:


Figuur 19.3
Ik stel dat er in de oorsprong een bepaalde trekspanning σxx is (ik gebruik twee indices want de eerste x zegt dat we in de x-richting aan het analyseren zijn en de tweede x zegt dat de spanning in de x-richting werkt) en die varieert in de x-richting volgens:



Dit is inderdaad een lineaire benadering waarbij termen van tweede orde en hoger verwaarloosd worden, maar op deze manier is vloeistofdynamica al meer dan ingewikkeld genoeg en het resultaat meer dan goed genoeg want we praten uiteindelijk over een infinitesimaal klein kubusje. Dan geldt er voor σrechts (de rechterkant van de kubus bevindt zich op een afstand 1/2 dx van de oorsprong):



En voor σlinks:



Deze spanningen werken over de hele rechterkant respectievelijk linkerkant en dit levert twee krachten op (kracht = spanning maal oppervlakte):





De netto kracht die op het kubusje inwerkt als gevolg van de trekspanningen is het verschil van deze twee krachten:



Trekspanningen staan loodrecht op een oppervlak. Spanningen die evenwijdig aan het oppervlak werken, dus in het oppervlak, zijn schuifspanningen. Schuifspanningen zijn de manifestaties van het schuiven en schuren van (in dit geval) kubusjes vloeistof langs elkaar en over en onder elkaar. Schuifspanningen geven we aan met τ:


Figuur 19.4
Ik kan nu dezelfde redenering gebruiken als bij de trekspanningen en ik kijk eerst naar de spanningen aan de voorkant en de achterkant van het kubusje. Daarom stel ik dat er in de oorsprong een bepaalde schuifspanning τyx is (ik gebruik twee indices want de y zegt dat we in de y-richting aan het analyseren zijn (voor en achter) en de x zegt dat de spanning in de x-richting werkt) en die varieert in de y-richting volgens:



Dan geldt er voor τvoor (de voorkant van de kubus bevindt zich op een afstand 1/2 dy van de oorsprong):



En voor τachter:



Deze spanningen werken over de hele voorkant respectievelijk achterkant en dit levert twee krachten op:





De netto kracht die op het kubusje inwerkt als gevolg van deze schuifspanningen is het verschil van deze twee krachten:



Voor de schuifspanningen aan de bovenkant en de onderkant van de kubus geldt precies hetzelfde verhaal en daarom maak ik daarvoor gelijk de stap naar het resultaat, de kracht als gevolg van deze schuifspanningen is:



Door het combineren van (19.5), (19.11), (19.17) en (19.18) heb ik de totale kracht die in de x-richting op het kubusje inwerkt:



Volgens de eerste wet van Newton geldt:



Oftewel:



Stel je eens een rivier voor. Het water in de rivier stroomt en overal heeft het water een bepaalde snelheid, zowel qua grootte als richting. Je kunt dus de rivier zien als een vectorveld van snelheden dat op ieder moment en op iedere plaats grootte en richting aangeeft van de snelheid van de vloeistof daar ter plaatse:



En de vectoren van dit vectorveld bestaan uiteraard uit componenten:



Als we ons weer even beperken tot de x-richting dan kan ik (19.21) ook schrijven als:



In combinatie met (19.3) wordt dit:



En vervolgens kan ik (19.19) en (19.25) aan elkaar gelijk stellen:



Dit is een mooi resultaat, maar wat doen we nu met die σ en τ’s? Ik zoom eerst even in op de de τ’s, de schuifspanningen. In de titel van deze paragraaf staat “wrijvingsloze adiabatische vloeistoffen” en dat betekent dat er geen schuifspanningen optreden. Geen wrijving, dan ook geen schuifspanningen. Zonder afleiding geef ik hier de vergelijkingen voor de schuifspanningen:





In deze twee vergelijkingen is μ de viscositeit en die is dus nul waardoor τ ook nul wordt. Vergelijking (19.26) reduceert daarmee tot:



Zo, dat ruimt al lekker op! We zitten inmiddels tot onze nek in de vloeistofdynamica en om de kern van de trekspanning σ tussen de oren te krijgen zouden we ook nog een dergelijke expeditie moeten ondernemen binnen de thermodynamica, om vervolgens het grootste deel van het resultaat weer weg te strepen omdat we over wrijvingsloze adiabatische vloeistoffen praten. Dat gaan we dus niet doen, ik gooi de vergelijking voor de trekspanning σ er hier gewoon in (p is de druk, in het Engels pressure, en μ is weer de viscositeit):



En omdat μ = 0 houden we slechts dit over:



Waarmee vergelijking (19.29) overgaat in:



Voor de volledigheid zijn hier de overeenkomstige vergelijkingen voor de y-richting en de z-richting:





Ik stel dat vanaf nu Griekse indices over vier dimensies lopen (x, y, z en t) en Latijnse indices over de drie ruimtelijke dimensies (x, y en z). Dan kan ik de vergelijkingen (19.32), (19.33) en (19.34) ook schrijven als één vergelijking (met indexnotatie):



Of nog compacter en iets anders opgeschreven:



Deze vergelijking parkeren we even en nu keer ik terug naar het kubusje en ik geef hierbij de snelheden aan in de diverse richtingen:


Figuur 19.5
De snelheden vx, vy en vz variëren als volgt (waarbij ik wederom de lineaire benadering neem):







De snelheid van de rechterkant van de kubus is dan:



De massa die door de totale rechterkant van het kubusje stroomt wordt daardoor:



Op dezelfde wijze geldt voor de massastroom door de linkerkant van het kubusje:



De netto massastroom in de x-richting is het verschil van deze twee:



In de y-richting en de z-richting komen we op analoge wijze tot:





Hetgeen ons brengt bij de totale massastroom door de kubus:



Er kan natuurlijk ook massa in en uit het kubusje stromen door dichtheidsvariaties in de tijd:



De som van de vergelijkingen (19.46) en (19.47) moet nul zijn, want anders schenden we de wet van behoud van massa:



Door te delen door dV komen we tenslotte tot:



Of in indexnotatie:



Deze vergelijking is de wet van behoud van massa voor een vloeistof. Ik wil hier nog even de kanttekening bij maken dat ik uitgegaan ben van een vloeistof met constante dichtheid (als functie van x, y en z, niet als functie van de tijd). Had ik dat niet gedaan dan waren de afleidingen hierboven een stuk uitgebreider met als resultaat dat de dichtheid ρ binnen de differentiaal was gekomen. Vergelijking (19.50) had er dan zo uitgezien:



Maar Einstein praat in zijn artikel over de dichtheid als een scalaire grootheid (een getal), dus daarom ben ik van een constante dichtheid uitgegaan. Vergelijking (19.50) is een massavergelijking en door die vergelijking met de snelheid te vermenigvuldigen kom ik tot een impulsvergelijking (impuls = massa maal snelheid):



De wet van behoud van massa kan ik in haar simpelste vorm opschrijven als:



Dit zegt dat de massaverandering in de tijd gezien nul moet zijn om massabehoud te garanderen. Op dezelfde manier kan ik de wet van behoud van impuls schrijven als:



Vergelijking (19.36) is al een impulsvergelijking (in een weliswaar wat ongebruikelijk vorm maar dat komt omdat we met vloeistoffen bezig zijn). Ik haal in vergelijking (19.36) even alles naar één kant:



Ik keb nu twee impulsvergelijkingen, (19.52) en (19.55), en die ga ik bij elkaar optellen:

En deze vergelijking vormt de wet van behoud van impuls voor een vloeistof. De vergelijkingen (19.50) en (19.56) zijn de wet van behoud van massa respectievelijk de wet van behoud van impuls voor een vloeistof en zijn samen de geschiedenis ingegaan als de vloeistofvergelijkingen van Euler (inderdaad dezelfde Euler die we al eerder zijn tegengekomen).

Nu keer ik weer terug naar het artikel van Einstein. Hij gaat uit van twee scalaire vloeistofparameters: de druk p en de dichtheid ρ. De beweging van een vloeistof wordt gegeven door (hoe dit allemaal op zijn plaats gaat vallen zul je zometeen zien):



De vloeistof oefent een druk uit:



De energietensor van de vloeistof is dan te schrijven als:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Door te vermenigvuldigen met gσβ ontstaat:



En door nogmaals te vermenigvuldigen, ditmaal met gτα, krijgen we:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Het tussenresultaat, vergelijking (19.60), schrijf ik iets anders op:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Zo heb ik achtereenvolgens verkregen de energietensor van de vloeistof in contravariante vorm, in covariante vorm en in gemengde vorm. Nu sleep ik vergelijking (18.12/E57a) er even bij:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Het rechterdeel van vergelijking (19.62/E58b) ga ik vervolgens invullen in vergelijking (18.12/E57a):

Ik heb de Christoffel-symbolen bewust helemaal uitgeschreven in afgeleiden van de metrische tensor. Want wanneer we alle moeilijke relativistische dingen even opzij zetten, dus vooral geen significante zwaartekracht, dan vult de metrische tensor zich met getallen (constanten) en is de afgeleide van de metrische tensor gelijk aan nul. In dat geval vallen alle termen in het rechterlid weg (ze worden allemaal nul):



Vervolgens ga ik nog wat met de linkerterm knutselen:



Omdat ik zojuist ‘alle moeilijke relativistische dingen’ terzijde heb geschoven geldt bij zeer goede benadering:



En ook:



Waardoor vergelijking (19.65) overgaat in:



Dit kan ik ook schrijven als:



Wanneer σ < 4 en β < 4 dan wordt vergelijking (19.69):



Deze vergelijking komt overeen met vergelijking (19.56)! Behalve dan dat in vergelijking (19.56) nog een term staat die de zwaartekracht weergeeft. Die laatste zien we hier niet meer terug omdat de Christoffel-symbolen allemaal nul geworden zijn.

Wanneer σ = 4 en β = 4 dan wordt vergelijking (19.69):



En deze vergelijking komt overeen met vergelijking (19.50)! Behalve dan dat in vergelijking (19.50) nog een afgeleide staat van de dichtheid ρ, maar die is er nu uitgevallen omdat Einstein uitgaat van de dichtheid als scalaire grootheid (en dus is de afgeleide nul). Met een niet-constante ρ was dit het resultaat geweest:



Wanneer σ ≠ 4 en β = 4 of σ = 4 en β ≠ 4 dan is gσβ = 0 en blijft van vergelijking (19.69) alleen het volgende over:



En dit voegt niets meer toe aan het resultaat dat we al hebben. Met andere woorden, de vier vergelijkingen (19.63) (σ = 1, 2, 3, 4) vormen de vloeistofwetten van Euler in algemeen relativistische vorm! Zo simpel ziet het er uit:

Dit is wederom Einstein ten voeten uit. We zitten middenin een uitgebreide theorie over de zwaartekracht en ineens maakt Einstein een uitstapje naar de wereld van de vloeistoffen en zegt impliciet “jongens, kijk eens, ik pak gelijk ook even de halve vloeistofdynamica mee”. Het is net als in zijn artikel over de speciale relativiteitstheorie waarin hij bijvoorbeeld het Doppler-effect onder handen neemt. Voor het Doppler-effect bestaan twee vergelijkingen (waarnemer beweegt of de geluidsbron beweegt) en Einstein veegt die samen in één vergelijking en geeft tegelijkertijd les hoe het Doppler-effect zich onder relativistische omstandigheden gedraagt. Hier doet hij hetzelfde. De vergelijkingen van Euler pakt hij samen in één vergelijking en hij neemt gelijk relativistische effecten mee.

Alles wat je moet weten om de zes onbekenden p, ρ, dx/ds, dy/ds, dz/ds en dt/ds op te lossen is aanwezig zegt Einstein. Want we hebben uiteraard deze vergelijking:



Daarnaast hebben we de vier vergelijkingen (19.63) en de vergelijking (19.59/E58):



Dus zes vergelijkingen om zes onbekenden op te lossen. En mochten de gμν onbekend zijn dan hebben we uiteraard de veldvergelijkingen uit paragraaf 16 nog tot onze beschikking:





Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dit zijn in totaal elf vergelijkingen (vergelijking (16.32) bevat zestien vergelijkingen omdat zowel μ als ν de waarden 1, 2, 3, 4 doorlopen maar hiervan zijn er zes afhankelijk omdat de tensoren symmetrisch zijn; daardoor blijven er tien onafhankelijke vergelijkingen over plus vergelijking (16.33) is elf). Echter de vier vergelijkingen (18.12/E57a) zijn hieruit voortgekomen, en daarmee ook de vergelijkingen (19.63), dus van die elf vergelijkingen zijn er uiteindelijk maar zeven onafhankelijk. Uiteindelijk rollen er drie ‘ruimtefuncties’ uit (functies voor x, y en z) zodat daarmee het aantal weer op tien komt, precies het aantal dat we nodig hebben wanneer de gμν onbekend zijn. In een voetnoot merkt Einstein nog op dat indien we de beperking √ g = −1 loslaten dan hebben we weliswaar één vergelijking minder, maar anderzijds komen we dan tot vier onafhankelijke ruimtefuncties (functies voor x, y, z en t) en is het totaalplaatje dus toch weer kloppend.

In een andere voetnoot maakt Einstein nog een opmerking over de T44 component van vergelijking (19.62/E58b):



Einstein vervolgt: door lokaal een referentiestelsel aan te leggen volgens de speciale relativiteitstheorie met een meebewegende waarnemer ontstaat:



Oftewel:



Tenslotte gooit Einstein er de subtiele opmerking in dat voor een niet-samendrukbare vloeistof (waarbij je de dichtheid ρ als constante aanneemt) de dichtheid ρ dus niet constant is!

Deze paragraaf alleen al, die in dit artikel over de algemene relativiteitstheorie slechts één bladzijde in beslag neemt, geeft meer dan voldoende stof om een boek over te schrijven.