Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 17

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk C:
Theorie van het zwaartekrachtveld.


Paragraaf 17:
De behoudswetten in het algemene geval.

In de vorige paragraaf is de energietensor Tμν in beeld gekomen en in deze paragraaf gaan we uitzoeken of deze tensor voldoet aan de wetten van behoud van energie en behoud van impuls. Het uitgangspunt van Einstein is vergelijking (16.24/E52) uit de vorige paragraaf:





Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Om te beginnen nemen we de contractie van vergelijking (16.24/E52) door de indices μ en σ aan elkaar gelijk te stellen als volgt:





Het resultaat daarvan is:



Nu ga ik vergelijking (17.3) vermenigvuldigen met 1/2 δμσ:



En vervolgens trek ik vergelijking (17.4) af van vergelijking (16.24/E52):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



De volgende stap is om vergelijking (17.5/E52a) te differentiëren naar xσ:



Ik ga de eerste term van vergelijking (17.6) even apart nemen en daarmee knutselen:



En als ik dan vergelijking (11.18/E31) in herinnering roep:





Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Daarmee kan ik vergelijking (17.7) verder vereenvoudigen:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Nu neem ik de tweede term van vergelijking (17.6) apart voor wat knutselwerk:



In dit geval roep ik vergelijking (11.16/E29) erbij:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Hiermee schrijf ik vergelijking (17.9) als:



Wetende dat:



Dit vereenvoudigt vergelijking (17.10) tot:



Met de resultaten van de vergelijkingen (17.8/E54) en (17.12) kan ik het complete linkerdeel van vergelijking (17.6) ook schrijven als:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dit is een boeiend resultaat, want dit betekent dat voor het rechterdeel van vergelijking (17.6) ook geldt:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:

In paragraaf 15 heb ik uitgebreid stilgestaan bij de stelling van Gauss en hoe daaruit de behoudswetten volgen in bovenstaande vorm. Nu komen we tot hetzelfde resultaat maar dan voor de totale energie die in een bepaald volume aanwezig is. Het doel van deze paragraaf is volledig bereikt: de veldvergelijkingen zoals die in paragraaf 16 aan de oppervlakte kwamen zijn in overeenstemming met de behoudswetten. Hoera!