Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 14

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk C:
Theorie van het zwaartekrachtveld.


Paragraaf 14:
De veldvergelijkingen van de zwaartekracht bij de afwezigheid van materie.

Er is zwaartekracht en er is ‘de rest’. En ‘de rest’ noemen we materie, dus alles wat niet onder de noemer “zwaartekrachtveld” valt is materie. We kennen uiteraard de ‘klassieke’ materie, alles wat je aan kunt raken, maar het begrip materie heeft een hele andere betekenis gekregen met Einstein’s beroemdste vergelijking:





En door te kiezen dat c = 1, zoals we de hele tijd al doen tijdens de behandeling van dit artikel, krijgen we:

Energie en massa zijn twee zijden van dezelfde munt! Dus alles wat er om ons heen aanwezig is aan energie zoals:

Dit valt via een omweg allemaal in de categorie massa, oftewel materie. En dat rijtje dat ik hierboven opgesomd heb dat zijn allemaal soorten elektro-magnetische straling en daarom pakt Einstein dat samen onder die term en zegt expliciet dat het elektro-magnetische veld ook als materie begrepen en aangeduid dient te worden.

In deze paragraaf zoeken we de veldvergelijkingen van de zwaartekracht bij de afwezigheid van materie. Er is ergens massa die de bron is van een zwaartekrachtveld en buiten die massa is alleen maar zwaartekrachtveld aanwezig en verder helemaal niets, oftewel er is wel gravitatie maar in het veld is geen materie. De veldvergelijkingen die we zoeken, hoe ze ook luiden, moeten uiteraard altijd geldig zijn, dus ook in het speciale geval dat de speciale relativiteitstheorie van toepassing is in een bepaald stuk ruimtetijd en de gμν constanten zijn. We noemen dit het stelsel K0. In dit stelsel zijn alle componenten van de Riemann-tensor nul:



En indien alle componenten van een tensor nul worden in één coördinatenstelsel dan worden die componenten allemaal nul in alle coördinatenstelsels, dat is het fijne van tensoren. Een tensor is onafhankelijk van coördinatenstelsels (ik heb het over de tensor zelf en niet over de componenten), dus als een tensor nul is dan is die tensor altijd nul. Echter, om te stellen dat de vergelijkingen die we zoeken volgen uit de eis dat de Riemann-tensor nul wordt is te kort door de bocht. Indien je je in een zwaartekrachtveld bevindt maar (zeer) ver verwijderd van alle massa dan kun je het veld wel nagenoeg als constant beschouwen en is er wel een coördinatenstelsel in het leven te roepen die de Riemann-tensor (bij goede benadering) nul laat worden. Maar (dicht) in de buurt van massa is er uiteraard geen transformatie naar een of ander coördinatenstelsel mogelijk waardoor je het gravitatieveld als het ware ‘wegtransformeert’. Een dergelijke wiskundige manoeuvre, indien die mogelijk en toegestaan zou zijn, zou de werkelijkheid absoluut geweld aandoen.

Nu komt Einstein met een gewaagde zet. Hij zegt: het ligt dichtbij (“es liegt nahe”) om te eisen dat de tensor Bμν (die we in paragraaf 12 afgeleid hebben uit de Riemann-tensor) verdwijnt (dus nul wordt). Deze tensor is symmetrisch en levert tien onafhankelijke vergelijkingen op voor de tien verschillende gμν’s. Ik haal vergelijking (12.13/E44) uit paragraaf 12 erbij:







Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En voor √ (−g) = 1 volgt hieruit:



En het verdwijnen (nul worden) van deze tensor betekent dus:





Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Waarom is dit een redelijke of logische weg om te gaan? Einstein had wel door dat hij hier iets doet wat gedeeltelijk op intuïtie gebaseerd is en niet voor de volle honderd procent een wetenschappelijk fundament heeft. Hij schrijft ook gewoon in zijn artikel dat hier sprake is van enige willekeurigheid om met bovenstaande vergelijkingen verder te gaan. Vervolgens gaat hij de situatie kwalitatief verdedigen met de volgende argumenten:

Wat hij nog veel belangrijker vindt is dat uit de eis van het relativiteitsprincipe en vervolgens via puur wiskundige principes deze vergelijkingen tevoorschijn zijn gekomen. En uiteindelijk vallen de bewegingsvergelijkingen (zie paragraaf 13) als eerste orde benadering weer terug op de zwaartekrachtwet van Newton, en de tweede orde benadering verklaart de afwijking in de baan van de planeet Mercurius (waar ik het in paragraaf 1 al over had) zoals die door Le Verrier ontdekt was en onverklaarbaar bleef totdat Einstein met zijn algemene relativiteitstheorie kwam. Volgens Einstein moet dit van de fysische juistheid van zijn theorie overtuigen.