Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 13

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk C:
Theorie van het zwaartekrachtveld.


Paragraaf 13:
Bewegingsvergelijking van een materie-punt in het zwaartekrachtveld.
Uitdrukking voor de veldcomponenten van de zwaartekracht.

Het hoofdstuk wiskunde ligt achter ons en nu zijn we er als het goed is helemaal klaar voor, we gaan in dit hoofdstuk op weg naar de veldvergelijkingen die het zwaartekrachtveld beschrijven. Zoals we inmiddels gewend zijn van Einstein gaat hij in stapjes verder en begint hij bij hele eenvoudige elementaire zaken.

Een lichaam waar geen krachten op uitgeoefend worden beweegt zich met constante snelheid (eenparige snelheid) langs een rechte lijn. Zo luidt de eerste wet van Newton en dit is ook helemaal conform de speciale relativiteitstheorie. Maar binnen de algemene relativiteitstheorie geldt dit natuurlijk niet anders indien er een coördinatenstelsel te kiezen is voor (een deel van) de vierdimensionale ruimtetijd zodanig dat de gμν constanten zijn en de volgende waarden hebben:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dit coördinatenstelsel noemen we K0. In paragraaf 2 is uitgebreid ter sprake geweest hoe de beweging van een lichaam in een bepaald coördinatenstelsel, in dit geval K0, ‘gezien’ wordt vanuit een willekeurig ander coördinatenstelsel en dat stelsel noemen we hier K1. In het stelsel K0 beweegt een lichaam zich met eenparige snelheid langs een rechte lijn door de vierdimensionale ruimtetijd, dus langs een geodetische lijn. En een geodetische lijn is opgebouwd uit heel veel intervalletjes ds en wel zodanig dat het volgen van deze geodetische route de kortste afstand overbrugt van P1 naar P2. Dat was ook het vertrekpunt in paragraaf 9:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Dit was het uitgangspunt en dit uitgangspunt is onafhankelijk van welk referentiestelsel dan ook (het interval ds is invariant). Vervolgens hebben we de vergelijking van een geodetische lijn afgeleid met dit resultaat:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Het traject dat een lichaam volgt zal dus moeten voldoen aan deze vergelijking. En omdat vergelijking (9.32/E22) eveneens niet gebonden is aan een bepaald referentiestelsel zal een lichaam dus in alle referentiestelsels (lees: coördinatenstelsels) aan vergelijking (9.32/E22) moeten voldoen! Dus zowel in stelsel K0 als in stelsel K1 beschrijft vergelijking (9.32/E22) de beweging van hetzelfde lichaam.

Aan het einde van paragraaf 9 had ik het reeds over een ‘gewone’ rechte lijn. Daarvoor geldt dat de tweede afgeleide nul is:

Hierbij wil ik even meegeven dat in onze dagelijkse wereld we bij een rechte lijn denken aan een rechte lijn in drie dimensies, dus τ = 1, 2, 3, en binnen de speciale relativiteitstheorie, dus in het vierdimensionale ruimtetijdcontinuüm, geldt dat τ = 1, 2, 3, 4. Indien de gμν constanten zijn dan zijn de Christoffel-symbolen nul want die bestaan uit afgeleiden van de gμν. In dat geval reduceert vergelijking (9.32/E22) tot vergelijking (13.1). Dus alle beweging die afwijkt van een ‘gewone’ rechte lijn wordt gegeven door:



Uit de overpeinzingen van paragraaf 2 kwam deze conclusie: En dan hebben we het over hetzelfde lichaam maar dan ‘gezien’ vanuit twee verschillende referentiestelsels. Hieruit kunnen we niet anders concluderen dan dat vergelijking (13.2) de greep van het zwaartekrachtveld beschrijft, oftewel de componenten van het Christoffel-symbool van vergelijking (13.2) zijn de componenten van het zwaartekrachtveld!

In paragraaf 9 vertelde ik dat de Christoffel-symbolen ook wel aangeduid worden met de letter Γ als volgt:





En daarmee komt Einstein nu ook aanzetten:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



De vergelijking voor de geodetische lijn die tevens de beweging beschrijft van een lichaam in een willekeurig stelsel wordt daarmee:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



De volgende stap van Einstein is: laten we aannemen dat er helemaal geen stelsel K0 bestaat. In het stelsel K0 zijn de gμν constanten en geldt de speciale relativiteitstheorie en wordt de beweging van een vrij bewegend lichaam beschreven door:



Wanneer we ‘overstappen’ naar het stelsel K1 dan wordt de beweging van een vrij bewegend lichaam gedicteerd door het aanwezige zwaartekrachtveld volgens:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Einstein neemt aan dat de bovenstaande vergelijking altijd de beweging in een zwaartekrachtveld beschrijft ongeacht of er ergens een stuk ruimtetijd te vinden is waar de speciale relativiteitstheorie geldt. In vergelijking (13.4/E46) bevinden zich alleen de eerste afgeleiden (dus geen hogere afgeleiden) van de gμν (in het Christoffel-symbool). En aangezien de speciale relativiteitstheorie een afgeleide wereld is van de algemene relativiteitstheorie (de snelheid is constant respectievelijk variabel, de versnelling is nul respectievelijk niet-nul) is dat best wel logisch. Stel dat vergelijking (13.4/E46) tweede afgeleiden of hogere afgeleiden van de gμν zou bevatten dan ligt het voor de hand dat daar binnen het stelsel K0 nog ‘resten’ van aanwezig zouden zijn.

Einstein merkt ook op in een voetnoot dat de Riemann-tensor dat wel heeft, daar komen de eerste afgeleiden en tweede afgeleiden van de gμν allebei voor. Bovendien zijn de gμν, of de eerste afgeleiden daarvan, onafhankelijk van elkaar, het is niet zo dat een bepaalde g component te schrijven is als functie van een andere g component. Dus als alle componenten van het Christoffel-symbool in vergelijking (13.4/E46) nul zijn dan volgt een vrij bewegend lichaam een rechte lijn door de vierdimensionale ruimtetijd. Dit is te vergelijken met de eerste wet van Newton: een lichaam waar geen krachten op uitgeoefend worden beweegt zich met constante snelheid langs een rechte lijn. Conclusie: de componenten van het Christoffel-symbool in vergelijking (13.4/E46) zijn de componenten van het zwaartekrachtveld: