Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 12

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk B:
Wiskundige hulpmiddelen voor de opstelling van algemeen covariante vergelijkingen.


Paragraaf 12:
De Riemann-Christoffel-tensor.

En zo zijn we aanbeland bij paragraaf 12, de laatste paragraaf van hoofdstuk B met daarin alle wiskundige verhandelingen. Einstein begint deze paragraaf met de volgende uitdagende vraag: wat zijn de tensoren die alleen door te differentiëren verkregen kunnen worden uit de metrische tensor gμν? Op het eerste gezicht lijkt dit een simpele vraag, want in paragraaf 10 hebben we deze vergelijking afgeleid:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Deze vergelijking geeft aan hoe de afgeleide verkregen wordt van een covariante tensor van de tweede rang. De metrische tensor gμν is een covariante tensor van de tweede rang dus als we die in vergelijking (10.37/E27) stoppen dan zou het antwoord er zo uit moeten rollen. Laten we dat dan maar eens doen:



En klaar is Kees! Lijkt het. Omdat g symmetrisch is in μ en ν, die kunnen onderling dus naar hartelust verwisseld worden, en omdat τ een dummy index is kan vergelijking (12.1) ook geschreven worden als:

Vervolgens schrijf ik het Christoffel-symbool om van de tweede soort naar de eerste soort:



Ik ga het Christoffel-symbool nu helemaal uitschrijven:



Van het rechterlid vallen de eerste en de derde term tegen elkaar weg. En omdat μ en ν verwisseld mogen worden vallen de tweede - en vierde term ook tegen elkaar weg. Daardoor krijgen we het verrassende resultaat:



Dit gaat dus niet werken. Voor een andere aanpak sleept Einstein vergelijking (10.15/E26) erbij:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



En dit vullen we in in vergelijking (10.37/E27):



Voor de zoveelste keer zijn we op een punt aangeland van ogenschijnlijke chaos waaruit niets zinvols tevoorschijn lijkt te kunnen komen. Maar Einstein zegt dat de vergelijking hierboven uitnodigt tot de vorming van Aμστ − Aμτσ. Eerlijk gezegd had ik dat uitnodigende gevoel niet toen ik dit voor de eerste keer zag, maar uiteraard gaan we nu wel het pad in dat Einstein voorstelt. En dan krijg je dit:



Nu gaan we eens heel goed kijken. In de eerste plaats kunnen die tweede afgeleiden van Aμ tegen elkaar weggestreept worden want het maakt helemaal niets uit of je eerst naar xσ differentieert en dan naar xτ of vice versa. Dan blijft er dit over:



Nu hebben we nog twaalf termen over. Omdat Christoffel-symbolen symmetrisch zijn in de eerste twee indices mogen die verwisseld worden. Als gevolg daarvan kunnen de volgende termen tegen elkaar weggestreept worden: Deze vier termen blijven er dan nog over:



Tenslotte pakt Einstein deze vier termen samen en introduceert een nieuwe tensor:



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



De tensor B vormt zich aldus (waarbij ik in de Christoffel-symbolen de μ’s allemaal links zet om het resultaat er net zo uit te laten zien als dat van Einstein, dat mag ongestraft want de Christoffel-symbolen zijn symmetrisch in de eerste twee indices):



Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:

In de bovenstaande twee vergelijkingen zitten enkele fundamentele zaken die heel belangrijk zijn. Ten eerste hebben we in vergelijking (12.10/E42) de tensor (Aμστ − Aμτσ) gevormd. En helemaal aan de rechterkant staat een willekeurige vector Aρ die we dus ook tensoreigenschappen kunnen toedichten. Als we dit combineren met wat we in paragraaf 7 geleerd hebben dan kunnen we hieruit de conclusie trekken dat B een tensor moet zijn. Einstein betitelt dit als de Riemann-Christoffel-tensor, maar tegenwoordig noemen we dit doorgaans de Riemann-tensor. Meneer Christoffel werd kennelijk al genoeg lof toegezwaaid met de symbolen die naar hem genoemd zijn dat deze tensor daarom uiteindelijk volledig naar Riemann is genoemd. De Riemann-Christoffel-tensor is van de vierde rang en kent dus maar liefst 44 = 256 componenten.

Stel dat er in de vierdimensionale ruimtetijd een coördinatenstelsel bestaat waar alle componenten van de tensor g constanten zijn. In dat geval worden alle Christoffel-symbolen nul (Einstein noemt dat consequent dat ze ‘verdwijnen’) want de Christoffel-symbolen bestaan uit afgeleiden van de tensor g en de afgeleide van een constante is nul. En als alle Christoffel-symbolen nul worden dan wordt ook de Riemann-tensor nul zoals je kunt zien aan vergelijking (12.11/E43). Zoals we eerder al de nulvector tegen kwamen, een vector waarvan alle componenten nul zijn, zo kunnen we hier de nultensor introduceren, een tensor waarvan alle componenten nul zijn. En een tensor die een nultensor is in één coördinatenstelsel die moet dat automatisch ook zijn in alle andere coördinatenstelsels. Dat is immers de belangrijkste sleutel tot het begrip tensor: een tensor is onafhankelijk van een coördinatenstelsel en de componenten van een tensor vormen de verbinding met het coördinatenstelsel. Dus zolang ik praat over tensoren en niet over de componenten ben ik ‘los’ van coördinatenstelsels. Met andere woorden, indien de Riemann-tensor een nultensor is in één coördinatenstelsel dan is die dat per definitie in alle coördinatenstelsels. Dus als de tensor g uit constanten bestaat dan is de Riemann-tensor een nultensor. En omgekeerd geldt ook dat indien de Riemann-tensor een nultensor is dat de tensor g dan uit constanten bestaat (waarbij Einstein opmerkt in een voetnoot dat ook deze omgekeerde voorwaarde expliciet door de wiskundigen bewezen is). En in paragraaf 4 hebben we geleerd dat de gμν constanten zijn daar waar de speciale relativiteitstheorie van toepassing is (en vice versa). Voor deze hele materie waar we nu mee bezig zijn betekent dat dat in een beperkt gebied van het ruimtetijd continuüm de speciale relativiteitstheorie geldt indien door een geschikte keuze van het coördinatenstelsel de Riemann-tensor een nultensor wordt.

De laatste wiskundige stap van dit hoofdstuk is om een contractie uit te voeren op de Riemann-tensor. Daartoe maak ik in vergelijking (12.11/E43) ρ en τ gelijk aan α. Bovendien hernoem ik σ naar ν:



Vervolgens splitst Einstein de tensor B op in twee delen (waarom hij dat doet wordt zometeen duidelijk, Einstein heeft overal een reden voor):



Hierin is R:



En voor S geldt:



Even een tussendoortje (waarbij ik gebruik maak van vergelijking (11.16/E29)):



En dit gaan we gebruiken om vergelijking (12.15) te verbouwen:



Wanneer we tenslotte alles bij elkaar zetten dan hebben we dit:







Oorspronkelijke vergelijking uit het artikel van Einstein:



Einstein komt tenslotte nog even terug op het ‘akkefietje’ uit paragraaf 8 waarbij hij stelde dat we voor √ (−g) = 1 kiezen, oftewel we kiezen voor een coördinatenstelsel waarin geldt dat √ (−g) = 1. Door deze aanname is het (wiskundige) leven een stuk eenvoudiger geworden en hadden de afgelopen paragrafen anders een veel groter obstakel gevormd. Bovendien levert deze keuze het volgende op:



Een korte blik op vergelijking (12.17/E44) leert ons vervolgens dat hieruit volgt:



En dat heeft weer als consequentie voor vergelijking (12.13/E44):



Daarom gaat Einstein het volgende hoofdstuk in onder de aanname dat √ (−g) = 1, dus de speciale coördinatenkeuze waarbij √ (−g) = 1. En mocht dit in een bepaald geval gewenst zijn dan kan er altijd nog terug gegrepen worden op algemenere vergelijkingen.