Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 3

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Hoofdstuk A:
Principiële overwegingen bij het relativiteitsbeginsel.


Paragraaf 3:
Het ruimte–tijd–continuüm.
De eis van algemene covariantie voor de vergelijkingen die de algemene natuurwetten uitdrukken.

Weekdieren, zoals kwallen, of misschien wel gelatinepuddinkjes. Ik denk dat Einstein zoiets voor ogen had toen hij in 1916 deze derde paragraaf opschreef. Hoe beschrijf je waar een punt in een kwal of een gelatinepudding zich bevindt, terwijl er een storm heerst met windkracht tien? Wij, mensen, hechten aan stabiliteit en voorspelbaarheid en proberen de wereld om ons heen ook als zodanig te beschrijven. Maar hoe kun je gelatinepudding in vergelijkingen vatten?

Als je je huis voorstelt als staande in een coördinatenstelsel met de voordeur als oorsprong en iemand vraagt je de coördinaten te geven van je slaapkamer dan is dat relatief simpel. Je neemt een meetlat, te vergelijken met de starre maatstaven waar Einstein over spreekt, en je meet hoeveel meters je naar rechts of links moet, hoeveel meters naar achter (het huis in) en hoeveel meters naar boven (ik neem aan dat je niet in de kelder slaapt). Dit gaat letterlijk en figuurlijk allemaal recht-toe-recht-aan. Einstein zet dit in de categorie ‘klassieke mechanica en speciale relativiteitstheorie’. Het meetproces zoals ik dat hierboven schetste is direct te linken aan de fysieke wereld. Als ik vanaf de voordeur vijf meter het huis in ga, vier meter naar links en drie meter omhoog dan ben ik in mijn slaapkamer. Via de stelling van Pythagoras kan ik dan de afstand tot de voordeur berekenen als volgt:

Dit soort berekeningen en stellingen als “de som van de hoeken van een driehoek is 180 graden” noemen we samen de Euclidische meetkunde (vernoemd naar de Griek Euclides). Euclidische meetkunde is de ‘gewone’ meetkunde, de meetkunde die je op school (het voortgezet onderwijs) krijgt.

En voor tijd gold lange tijd hetzelfde. “Hoe lang was je in je slaapkamer?” wordt er gevraagd als je weer beneden komt. “Ik was daar twee uur aan het studeren” zeg je, er onbewust van uitgaande dat jouw twee uren ook voor degene beneden twee uren zijn. Onbewust (of misschien wel heel bewust) bedoel je dat je op je bureau een klok had staan die keurig netjes tijdseenheden (tijdsperioden), bijvoorbeeld minuten, wegtikt of anderszins aangeeft, en na 120 tijdseenheden (= 120 minuten = 2 uur) was je klaar met studeren en ben je naar beneden gegaan. Je hebt het over een gebeurtenis, het studeren, en over de tijdseenheden, minuten in dit geval, die ter plaatse van de gebeurtenis zijn verstreken. Onbewust hebben natuurkundigen altijd een dergelijke opvatting van ruimte en tijd gehad: een gebeurtenis speelt zich af op een bepaalde plaats op een bepaald tijdstip. Uiteindelijk beschouwen we alleen maar gebeurtenissen, want waar niets gebeurt valt niets te beschouwen. Einstein maakt onderaan de bladzijde nog even de opmerking dat het constateren van ‘gelijktijdigheid’ iets is dat we gemakshalve even aannemen. Twee gebeurtenissen zijn gelijktijdig indien ze ruimtelijk gezien vlakbij elkaar plaatsvinden (plaats en tijd vallen dan samen). Maar wat “vlakbij elkaar” dan precies is wordt niet gedefinieerd, is dat op een millimeter afstand, of een meter of een kilometer of een lichtjaar? Ofschoon Einstein in zijn voetnoot spreekt over een “fundamenteel begrip” (van wat gelijktijdigheid precies is), is het kennelijk niet essentieel voor dit hele verhaal om er hier een exacte definitie van te geven. En Einstein kennende gebeurt dat dus ook niet.

Maar hoe pakt dit allemaal uit als je in een gelatinepudding woont die in een storm staat? We zien waarschijnlijk vrij snel in dat ‘effe opmeten’ waar je slaapkamer zich bevindt ten opzichte van de voordeur dan een onmogelijke opdracht wordt. Euclidische meetkunde en gelatinepudding gaan niet samen.

Einstein probeert ons langzaam rijp te maken voor de werkelijkheid: ons huis in een zwaartekrachtveld is als een gelatinepudding in een storm! En dit geldt zowel voor ruimte als tijd. Daarom gebruikt Einstein ook het woord “onbewust”. Het is voor ons maximaal contra-intuïtief om te beseffen dat onze ruimte-tijd beleving zich afspeelt als een gelatinepudding in een storm. Daarom heeft Einstein het ook over puntgebeurtenissen, want zoiets als een slaapkamer is alweer zo groot dat daar de invloed van de gelatine en de storm onmiskenbaar is. Slechts als wij onze beschouwingen beperken tot puntgebeurtenissen, of kortweg gebeurtenissen (punten in de ruimtetijd), kunnen wij wetenschappelijke uitspraken doen. Einstein noemt de speciale relativiteitstheorie als limiet (grensgeval) in het geval van de afwezigheid van zwaartekracht. Dit is te vergelijken met een hard geworden gelatinepudding zonder storm: alles kan weer recht-toe-recht-aan gemeten en geanalyseerd worden.

En toen was het alweer de hoogste tijd voor een gedachtenexperiment. Einstein introduceert een referentiestelsel K en nog een ander stelsel K'. Deze referentiestelsels zijn Galileïsch (zie uitleg vorige paragraaf) en er zijn geen zwaartekrachtvelden actief (want die zorgen voor versnellingen, zie ook de uitleg van de vorige paragraaf). De oorsprongen en z-assen van beide stelsels vallen samen en het stelsel K' draait met constante snelheid rond ten opzichte van K (de z-as is dus de as waar omheen gedraaid wordt). We stellen ons vervolgens een cirkelvormige schijf voor in het x-y-vlak van het K-stelsel. En om redenen van symmetrie kan die schijf ook opgevat worden als zich bevindend in het x'-y'-vlak van het K'-stelsel.

Vervolgens gaan we de diameter en omtrek van de schijf opmeten met een heel klein (“oneindig klein”) duimstokje. Waarom heel klein? Om het rechte duimstokje heel nauwkeurig de gebogen omtrek van de schijf te kunnen laten volgen. Als we de resultaten van deze metingen op elkaar delen dan moet daar π uitkomen: cirkelomtrek/cirkeldiameter = π. Als we tenminste onze metingen uitvoeren in het K-stelsel, want dan is onze duimstok in rust ten opzichte van de schijf die we aan het opmeten zijn. Wanneer we echter de metingen uitvoeren vanuit het K'-stelsel (Joost mag weten hoe je dat praktisch zou kunnen doen, maar dat doet hier niet ter zake), dan komt er een heel ander resultaat uit: cirkelomtrek/cirkeldiameter > π. Doordat het K'-stelsel ronddraait ondergaat de duimstok een Lorentz-contractie (met een factor √ (1 − v2/c2), zie voor zeeeeeer uitgebreide uitleg het hoofdstuk op de site van het Einsteingenootschap over de speciale relativiteitstheorie), echter alleen tijdens het meten van de omtrek van de cirkelschijf want tijdens het meten van de diameter van de cirkelschijf staat de duimstok loodrecht op de bewegingsrichting en zal de duimstok geen Lorentz-contractie ondervinden. Althans, niet in de lengterichting van de duimstok, de dikte van de duimstok ondervindt wel een Lorentz-contractie maar dat heeft geen invloed op de meting die we aan het uitvoeren zijn. Het maakt immers niet uit of je met een dikke of een dunne duimstok aan het meten bent. De stelling “cirkelomtrek/cirkeldiameter = π” is onderdeel van de Euclidische meetkunde en klopt kennelijk wel in het stelsel K, maar niet in het stelsel K'!

Voor de tijd geldt een soortgelijk verhaal. Als er in het K'-stelsel gelijklopende klokken neergezet worden (klokken die dus in het K'-stelsel gelijk lopen, waarbij de waarnemer in de oorsprong staat, dus in het midden van de cirkelschijf), bijvoorbeeld eentje in de oorsprong en een aantal bij de rand van de cirkelschijf, dan zal men in het K-stelsel waarnemen dat de klokken bij de rand langzamer lopen dan de klok in de oorsprong (de waarnemer staat hier ook in de oorsprong). Vanuit K gezien bewegen de K'-klokken-bij-de-rand zich met constante snelheid en ondervinden daardoor tijddilatatie (met een factor √ (1 − v2/c2), zie voor zeeeeeer uitgebreide uitleg wederom het hoofdstuk op de site van het Einsteingenootschap over de speciale relativiteitstheorie), en lopen dus langzamer.

Ondanks het feit dat er maar één cirkelschijf aanwezig is hebben verschillende waarnemers verschillende meningen omtrent afmetingen en tijd. Zij hebben beide een verschillende natuurkundige interpretatie voor deze begrippen ten aanzien van hetzelfde fysieke voorwerp en dat is wat Einstein hier duidelijk wilde maken. Hij gebruikt de speciale relativiteitstheorie hier trouwens heel mooi als opzetje richting de algemene relativiteitstheorie. Zijn conclusie is dan ook: in tegenstelling tot de speciale relativiteitstheorie is het binnen de algemene relativiteitstheorie niet mogelijk om ruimtelijke afstanden met behulp van eenheidsmaatstaven te bepalen, noch kunnen tijdsafstanden met behulp van standaardklokken bepaald worden.

Nou, dat is nogal wat. Einstein houdt van duidelijkheid en zegt dan ook: de manier waarop wij tot op heden gewend zijn coördinatenstelsels aan te leggen faalt voor de vierdimensionale ruimtetijd. En omdat Einstein geen mogelijkheid ziet om de bestaande coördinatenstelsels (dus elk willekeurig coördinatenstelsel) zodanig aan te passen, of een heel nieuw coördinatenstelsel te bedenken, dat ook de natuurwetten nog eenvoudig geformuleerd kunnen worden, stelt hij het volgende: En daaruit volgt gelijk zijn eis (ja, Einstein houdt van duidelijkheid, hij eist het): En voor ‘algemene natuurwetten’ kun je hier lezen: de hele natuurkunde. Oftewel, de hele natuurkunde moet covariant zijn. En in dat geval voldoe je gelijk aan de algemene relativiteitstheorie, want hiermee omvat je ook alle relatieve bewegingen: bewegingen met constante snelheid maar ook versnelde bewegingen. En deze laatste soort bewegingen heeft Einstein’s bijzondere aandacht (en ook de onze natuurlijk). De hierboven geformuleerde eis toont ook weer duidelijk de kracht van Einstein, kijk maar eens naar dit rijtje: Dit is Einstein ten voeten uit. Hij is iets op het spoor en zijn intuïtie en/of inzicht verklaart het dan met een reuzenstap van toepassing in alle situaties. Hij schrikt er niet voor terug om een dergelijke reuzenstap te maken en heeft er al helemaal maling aan dat dat bestaande denkbeelden omverwerpt. En met veel succes!

Maar dit is tegelijkertijd wel wat relativiteitstheorie zo moeilijk maakt. Als we er over na gaan denken dat de lichtsnelheid voor alle waarnemers gelijk is raken we hopeloos met onszelf in de knoop. De grijze massa in onze bovenkamer kan alleen recht-toe-recht-aan (lineair) denken, en dat de werkelijkheid niet lineair is daar hebben wij hele grote moeite mee. We kunnen ons er alleen maar aan overgeven en daar zijn wij, mensen, het allerslechtst in. Goed, dit was even een klein filosofisch intermezzo van mijn kant, ook dat hoort bij relativiteitstheorie.

Maar Einstein heeft op dit punt óók filosofische overpeinzingen. Hij heeft net de eis van algemene covariantie erin gegooid en merkt op dat “die aan de ruimte en de tijd het laatste restje natuurkundige aanschouwelijkheid ontneemt”. Einstein kon zich er aan overgeven dat de werkelijkheid is zoals die is. Heel knap.

Hij gaat er nog even over door dat de covariantie-eis een hele natuurlijke eis is, om de volgende reden. Alles wat wij ten aanzien van ruimte en tijd waarnemen is gebaseerd op het samenvallen van ruimte en tijd, om precieser te zijn op het samenvallen van locaties in de ruimte met momenten in de tijd. Dit zijn de puntgebeurtenissen waar Einstein het al eerder over had. In die puntgebeurtenissen zijn er materiedeeltjes die op een bepaald tijdstip ergens zijn. Volgens Newton is er ‘de ruimte’ en is er ‘de tijd’, en die vormen samen het podium waarop het kosmische toneelspel zich afspeelt. Einstein ziet dat heel anders, er zijn alleen maar gebeurtenissen. Er is materie, en de deeltjes van die materie hebben ontmoetingen op bepaalde momenten in de tijd. Waarbij tijd ook weer bestaat uit ontmoetingen tussen wijzers en cijferplaten. En dat is uiteraard allemaal waarnemer afhankelijk. Tijd en ruimte loslaten, en je realiseren dat er alleen maar gebeurtenissen zijn, is net zo’n onbevattelijke stap als ‘de lichtsnelheid is voor alle waarnemers gelijk’. Het komt ook door de manier waarop wij van jongs af aan de wereld en de natuurkunde voorgeschoteld krijgen. Het puntje op één centimeter vanaf je neus daar is niets, maar daar is wel ruimte en tijd. Zo hebben we dat altijd geleerd. Terwijl, eigenlijk zouden we dát juist heel raar moeten vinden.

En zo komt Einstein via een andere weg wederom tot zijn covariantie-eis. Een bepaalde gebeurtenis in de vierdimensionale ruimtetijd kunnen we aanduiden met de coördinaten x1, x2, x3, x4. Deze coördinaten dienen slechts als gemakkelijke aanduiding van de ruimtetijd gebeurtenissen. Maar met een ander coördinatenstelsel als referentie vindt die bepaalde gebeurtenis plaats op coördinaten ν1, ν2, ν3, ν4. En vanuit weer een ander coördinatenstelsel zijn de coördinaten van die gebeurtenis Љ1, Љ2, Љ3, Љ4. En aangezien er absoluut geen enkele reden is om aan te nemen dat het x-coördinatenstelsel beter of slechter zou zijn dan het ν-coördinatenstelsel of het Љ-coördinatenstelsel volgt daaruit weer dat alle coördinatenstelsels gelijkwaardig zijn. En omdat al onze fysieke ervaringen uiteindelijk terug te voeren zijn op gebeurtenissen volgt hieruit weer de eis van algemene covariantie.