Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 2

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Oorspronkelijke Duitse tekst van deze paragraaf (opent in een nieuw tabblad)
Nederlandse vertaling van deze paragraaf (opent in een nieuw tabblad)
Hoofdstuk A:
Principiële overwegingen bij het relativiteitsbeginsel.


Paragraaf 2:
Over de redenen, die een uitbreiding van het relativiteitsbeginsel noodzakelijk maken.

Okee, de inleidende praatjes zijn achter de rug. Einstein komt nu gelijk goed op gang met een uitdagend gedachtenexperiment. In dit experiment beschrijft hij twee bollen S1 en S2 die vrij in de ruimte zweven:



Figuur 2.1
Wat zegt Einstein allemaal over deze bollen: Dat de bollen ten opzichte van elkaar roteren is een hele belangrijke zin. Dat betekent dat als één van onze cowboys op de noordpool van bol S2 gaat staan en omhoogt kijkt naar de andere bol dan ziet hij die bol draaien (okee, ik snap je vraag, “dat die bollen zich toch op zeer grote afstand van elkaar bevinden?”, maar deze cowboy heeft heeeeeeeeele goeie ogen, en wat zeg je nog meer, “dat die bollen toch vloeibaar zijn?”, maar dit is een heeeeeeeeele lichte cowboy met speciaal schoeisel waarmee hij, net als sommige insecten, op water kan staan). Op de zuidpool van bol S1 staat een andere cowboy en hij kijkt omlaag naar de andere bol (hij heeft ook hele goeie ogen, is net zo licht en heeft ook speciaal schoeisel) en ziet de andere bol draaien.

We hebben op deze manier dus: Maar nu komt het: Einstein zet zijn bril op en kijkt nog eens heel nauwkeurig en hij ziet dat bol S2 aan de evenaar iets vervormd is, bol S2 is wat platter en aan de evenaar wat wijder! De cowboy op bol S2 rent van de noordpool naar de evenaar en begint de omtrek op te meten met zijn duimstok. Zijn maat op bol S1 doet hetzelfde en inderdaad, de omtrek van bol S2 is groter dan die van bol S1. Dit is heel raar. De cowboy op bol S2 trekt zich bijna de haren uit het hoofd: hij ziet toch werkelijk de andere bol ronddraaien, waarom vervormt die dan niet? De cowboy op bol S1 sneert tegen hem: kennelijk ben ik een bevoorrechte cowboy op een bevoorrechte bol in een bevoorrechte ruimte waar absolute rust heerst, ik draai dus niet en vervorm ook niet, en jij bevindt je op een tweederangs bol in een tweederangs ruimte en daarom vervormt jouw bol wel! “Rustig, rustig”, spreekt Einstein ernstig, “er moet ergens een waarneembaar ervaringsfeit zijn die wij over het hoofd zien”, want bij elk gevolg hoort immers een oorzaak. Waar is de oorzaak, waar is het waarneembare ervaringsfeit (“beobachtbare Erfahrungstatsache”)? Einstein maakt hier nog wel de opmerking (zie de voetnoot op pagina 771 van het oorspronkelijke Duitse artikel) dat een waarneembaar ervaringsfeit een bevredigend antwoord op kan leveren, maar uiteindelijk om natuurkundige redenen niet toereikend of niet juist kan blijken te zijn indien het in strijd is met andere ervaringen. Voorbeeld: twee Congolezen staan met elkaar te praten en de ene Congolees zegt “Wat is het hier heet”. Waarop de ander zegt “Omdat de Zon loodrecht boven ons staat”. Dat is op zich een prima verklaring, een duidelijk waarneembaar ervaringsfeit, maar vervolgens komt er een Nederlander bij staan en zegt “Bij ons staat de Zon niet loodrecht boven ons en in Nederland is het soms ook wel 35 graden”. Vanuit een natuurkundig (wetenschappelijk) oogpunt is de waarneming ‘de Zon staat loodrecht boven ons’ dus niet een volledig bevredigend en correct antwoord.

Enkele jaren na de publicatie van zijn algemene relativiteitstheorie heeft Einstein een populair-wetenschappelijk boekje geschreven “Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie” waarin hij een huis-tuin-en-keuken variant van dit probleem opvoert (pagina 49 van dat boekje). Hij staat in de keuken voor zijn gasfornuis waarop twee dezelfde fluitketels staan, beide met water gevuld en uit één ketel komt stoom. Hij is verbaasd over het verschil in gedrag van deze twee fluitketels en gaat op zoek naar een oorzaak. Die vindt hij uiteindelijk wanneer hij onder de ene ketel blauwe vlammen ziet en onder de andere niet. Gelukkig, oorzaak en gevolg zijn weer in evenwicht!

Terug naar de kwestie met de twee bollen. Wij gaan samen met Einstein op zoek naar een waarneembare oorzaak. We duiken in de boeken van Isaac Newton maar dat levert een hoogst onbevredigend antwoord op. Newton gaat uit van een ruimte R1, waarin S1 in rust is en S2 ronddraait. Dan klopt alles: S2 vervormt en S1 niet. Ga je echter uit van een ruimte R2 waarin S2 in rust is en S1 ronddraait dan klopt er niets meer, want S2 vervormt nog steeds (terwijl die in rust is) en S1 vervormt niet (terwijl die ronddraait). Kennelijk is R1 een bevoorrechte ruimte en Newton noemde dit de absolute ruimte. Dit voelt heel slecht, want de speciale relativiteitstheorie heeft ons reeds geleerd dat er geen bevoorrechte waarnemers bestaan en dat er ook geen bevoorrechte klokken (tijdwaarnemingen) bestaan, net zo min als dat er absolute snelheden of absolute tijd bestaat, dus waarom zou er wel een bevoorrechte ruimte of absolute ruimte bestaan? En wat nog veel erger is: die bevoorrechte ruimte wordt er door Newton gewoon bij bedacht (“eine bloß fingierte Ursache” zegt Einstein)! Je kunt nergens aan zien of horen of voelen of ruiken of proeven dat een bepaalde ruimte bevoorrecht is. Kortom, dit is een puur verzonnen niet-waarneembare oorzaak. En Einstein gaat de problemen niet uit de weg en zegt dit dan ook duidelijk in zijn artikel bovenaan op pagina 772 van het oorspronkelijke Duitse artikel. Zijn conclusie: aan de eis van causaliteit (oorzaak en gevolg) wordt door de mechanica van Newton niet werkelijk, maar slechts schijnbaar voldaan. De eis van causaliteit heeft alleen betekenis zegt Einstein, indien zowel oorzaak als gevolg duidelijk waarneembare feiten zijn in onze alledaagse ervaringswereld. Dus iedereen moet het gewoon kunnen zien of horen of voelen of ruiken of proeven, en het mag dus niet zo zijn dat we het alleen maar hebben over allerlei hypothetische hocus-pocus in een theoretisch luchtkasteel. De bevoorrechte ruimte van Newton valt in de laatste categorie, dus weg ermee.

Maar Newton is toch ook echt niet over één nacht ijs gegaan om tot zijn conclusie te komen. Het bollenprobleem van Einstein kent namelijk een Newtonse variant: de emmer van Newton. Stel je hebt een emmer met water en je hangt die emmer, gevuld met water, op aan een touw. Dat ziet er dan zo uit:


Figuur 2.2
Vervolgens draaien we de emmer rond totdat het touw helemaal opgekronkeld is en laten dan de emmer los. Het zal je niet verbazen dat de emmer dan begint rond te draaien, omdat het touw zich weer wil ont-kronkelen:


Figuur 2.3
Het water zal niet direct meedraaien met de emmer, maar komt langzaam op gang door de wrijving tussen het water en de wand van de emmer. Uiteindelijk zal het water synchroon met de emmer meedraaien en door de draaiende beweging tegen de wand van de emmer omhoog gedrukt worden. Dat het water meedraait is dus zichtbaar doordat de waterspiegel niet meer perfect glad is, maar het water staat tegen de wand van de emmer omhoog:


Figuur 2.4
Wanneer het touw ont-kronkeld is dan stopt de emmer met draaien, maar het water gaat nog een tijdje door met draaien:


Figuur 2.5
En dit is het cruciale moment, want op datzelfde moment kan ik naast deze emmer de emmer hangen van figuur 2.2 toen alles nog in rust was. Ik heb dan twee emmers naast elkaar hangen die allebei niet draaien, maar bij de ene emmer is het water vlak en bij de andere emmer staat het water tegen de wand omhoog. Newton kon voor dit probleem geen andere uitweg bedenken dan dat het omhoog klimmende water draait ten opzichte van een absolute ruimte. Einstein doet in deze paragraaf het experiment van Newton over, maar dan zonder de emmers want die voegen niets toe voor de essentie van het probleem.

Een niet-onbelangrijk detail is verder nog dat Einstein niet praat over “de ruimte R1”, maar hij heeft het over de “Galileïsche ruimte R1”. Onder een Galileïsche ruimte verstaan we een ruimte waar de ruimtelijke dimensies netjes loodrecht op elkaar staan. Als je breedte, diepte en hoogte vervangt door een assenstelsel met x, y en z, dan maken die assen allemaal een hoek van negentig graden met elkaar. Afstanden in een dergelijke ruimte zijn heel eenvoudig uit te rekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Stel dat iemand zich bevindt op de coördinaten x = 3, y = 4 en z = 0, en je wilt de afstand tot de oorsprong uitrekenen dan doe je dat als volgt:



Stel dat die persoon zich op een hoogte van 12 (z = 12) zou bevinden dan wordt het:



Ik heb hier voor het gemak de eenheden weggelaten, je mag de meters of kilometers of yards of wat-dan-ook er zelf bijbedenken. De tijd blijft hier buiten beschouwing, die telt niet mee als actieve variabele. De tijd tikt ‘gewoon’ door als onafhankelijke parameter, losstaand van wat er in die ruimte gebeurt. Ook al racen mensen met de halve lichtsnelheid rond in die ruimte, in de Galileïsche ruimte loopt de tijd in absolute zin verder voor alle ‘bewoners’ van die ruimte. Dit beeld van tijd en ruimte is door Newton overgenomen, de Galileïsche ruimte is daarom ook een Newtonse ruimte. Dat er geen absolute tijdswaarneming bestaat heeft Einstein met zijn speciale relativiteitstheorie al duidelijk gemaakt, en wat er verder nog mankeert aan het beeld van de Galileïsche ruimte wordt verderop langzaam maar zeker duidelijk.

Einstein wil natuurlijk naar een algemeen relativiteitsbeginsel toewerken waarin niets of niemand bevoorrecht is. Met het probleem van de twee bollen heeft hij zojuist Newton hard om de oren geslagen, maar dat betekent vervolgens wel dat hij dan zelf met iets beters moet komen. Het antwoord van Einstein luidt als volgt: het systeem, bestaande uit de twee bollen S1 en S2, toont zelf geen enkele denkbare oorzaak die het verschillende gedrag van de twee bollen (wel en niet vervormen) kan verklaren, dus dan moet de oorzaak buiten dit systeem gezocht worden. Want wij hebben hiervoor wel aangenomen dat beide bollen zich op zeer grote afstand bevinden van elkaar en op zeer grote afstand van alle andere voorwerpen die zich verder in het heelal bevinden, maar omdat alle materie die zich in het heelal bevindt in totaal ongeveer 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 kilo is, is dat alles bij elkaar toch best wel heel erg veel massa. Einstein kan niet anders dan concluderen dat het uiteindelijk die verre massa’s zijn die het gedrag van de bollen zodanig meebepalen dat hierin de oorzaak ligt van het verschil in hun beider gedrag. Hij voegt er nog aan toe: die verre massa’s nemen de rol over van de verzonnen bevoorrechte ruimte R1, want er bestaat gewoon nimmer een bevoorrechte ruimte. De wetten van de natuurkunde moeten altijd en overal in elk systeem gelden, hoe zich dat ook beweegt, en daarom is een algemene relativiteitstheorie vereist.

En daarmee is voor Einstein de kous af! Hij heeft zijn punt gemaakt dat er geen bevoorrechte ruimtes bestaan en gaat over tot de orde van de dag. In het hele artikel komt hij niet meer terug op dit bollenprobleem en nu is hij met zijn gedachten allang weer bij andere zaken. Ja, lekker is dat, denken wij. Eerst met een spannend verhaal op de proppen komen en dan halverwege de ontknoping naar huis gaan!

Maar het gaat Einstein helemaal niet om de ontknoping. Wat hij wil is aan de hand van een duidelijk illustratief voorbeeld de absolute ruimte van Newton onderuit halen en vervolgens dat argument gebruiken als opstapje naar zijn algemene relativiteitstheorie (want Einstein zegt er ook duidelijk bij dat, naast de klassieke mechanica, ook de speciale relativiteitstheorie hier tekort schiet). Einstein is hierin in belangrijke mate geïnspireerd door de Oostenrijker Ernst Mach, een filosoof en wetenschapper (naar hem is het Machgetal voor snelheden genoemd, Mach 1 is gelijk aan de snelheid van het geluid, Mach 2 is tweemaal de snelheid van het geluid, enzovoort) die zich fel verzette tegen de voorstelling van Newton van absolute ruimte. In Newton’s beleving is de ruimte een soort star podium waarop het kosmische toneelspel zich afspeelt. En andere podia zijn er niet, sterker nog, die worden uitgesloten omdat daar de wetten van de natuurkunde niet geldig zijn.

Mach kon dit niet accepteren, mede omdat ruimte niet zichtbaar is en omdat het geen interactie pleegt met de materie in die ruimte. En Mach was bij uitstek iemand die uitging van waarnemingen en gewaarwordingen, van oorzaak en gevolg. Voor hem was ruimte daarom een raar abstract bedenksel van Newton waar hij zich absoluut niet mee kon verenigen. En Einstein stelt omtrent het ruimtebegrip van Newton: “Met deze situatie kan evenwel geen enkel consequent denkend mens tevreden zijn.”. De zienswijze van Mach wordt door Einstein het principe van Mach genoemd.

Jarenlang was Mach’s principe een zeer belangrijk uitgangspunt voor Einstein en met het probleem van de twee bollen raakt hij precies aan de essenties van de absolute ruimte van Newton en het principe van Mach. Dat wil Einstein hier bereiken, niet meer en niet minder.

Einstein heeft een uitgangspunt voor ogen dat zonneklaar is: de wetten van de natuurkunde moeten een zodanige vorm hebben dat ze ten opzichte van elk willekeurig bewegend referentiestelsel geldig zijn.

En daarmee heeft Einstein nog een pijl op zijn boog. In de speciale relativiteitstheorie wordt alleen uitgegaan van referentiestelsels (lees: voorwerpen of waarnemers) die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen. Nu is het moment gekomen om dit uit te breiden naar een theorie waarin alle relatieve bewegingen meegenomen worden, dus ook referentiestelsels die een versnelde beweging ten opzichte van elkaar maken. Wat is een versnelde beweging? Je maakt een versnelde beweging wanneer je snelheid verandert.

Voorbeeld:

Je staat stil en je begint vervolgens te wandelen met een snelheid van 5.4 km/uur. Als je na 1 seconde ‘op snelheid gekomen bent’ dan heb je daarna de rest van de tijd een constante snelheid van 5.4 km/uur. Maar in die eerste seconde heb je een versnelde beweging uitgevoerd; je ging van 0 km/uur naar 5.4 km/uur. Laten we deze snelheid eerst even omrekenen naar meters-per-seconde: 5.4 kilometer per uur = 5400 meter per uur = 5400 meter per 3600 seconden = 5400/3600 meter per seconde = 1.5 meter per seconde = 1.5 m/s (echte wetenschappers praten over meters en seconden). In die eerste seconde heb je een snelheidsverandering ondergaan van 1.5 meter/seconde, want je ging van 0 m/s naar 1.5 m/s. En dat is precies wat versnelling is: snelheidsverandering. Het is echter ook van belang hoe lang je over een bepaalde snelheidsverandering doet. In dit voorbeeld was je na 1 seconde op snelheid. Maar een oud omaatje heeft misschien wel 3 seconden nodig om diezelfde snelheid te bereiken. En een hardloper die de 100 meter sprint loopt bereikt na 2 seconden een snelheid van ongeveer 40 km/uur (ongeveer 11 meter/seconde). Zo heb je in dit voorbeeld drie verschillende versnellingen (a staat voor versnelling, Engels: acceleration):



Nog even iets over die eenheid (m/s)/s. Je hebt een breuk m/s (m in de teller en s in de noemer), en die deel je door s, dan heb je een breuk m/s2 want die s’en kun je met elkaar vermenigvuldigen. Dus de eenheid van versnelling is: m/s2 (spreek uit als: meter per seconde kwadraat). Of anders gezegd: het gaat om de verandering in meters-per-seconde (= snelheid) per seconde, dus meters-per-seconde-per-seconde oftewel meters per seconde kwadraat. Dan schrijven we alles nog even netjes op:



Jij ‘trekt dus sneller op’ dan het omaatje, maar de hardloper trekt op zijn beurt weer sneller op dan jij doet.

In dit voorbeeld gingen we uit van een beginsnelheid van 0 km/uur (jij, het omaatje en de hardloper waren aanvankelijk in rust), maar dat hoeft niet. Het gaat immers om de snelheidsverandering. Als je met de auto de snelweg op gaat dan is je snelheid aan het begin van de invoegstrook bijvoorbeeld 56 km/uur en aan het eind van de invoegstrook, 4 seconden later, 110 km/uur. Je snelheidsverandering is dan 110 − 56 = 54 km/uur = 15 m/s. En je versnelling is 15/4 = 3.75 m/s2. Ja, dat heb je goed gezien, de hardloper kan sneller optrekken dan de auto (tenzij je toevallig een Lamborghini hebt of iets anders uit die prijsklasse)!

In deze aanloop naar de algemene relativiteitstheorie wil Einstein alle soorten relatieve bewegingen meenemen. Of twee referentiestelsels ten opzichte van elkaar in rust zijn, of ten opzichte van elkaar met constante snelheid bewegen, of ten opzichte van elkaar versnellen maakt niet uit. Alles moet aan boord. Maar over die versnelling is nog wel wat meer te zeggen, want daar is iets bijzonders mee aan de hand. We maken daarvoor eerst nog even een uitstapje terug in de tijd naar Galileï en Newton.

Galileï ontdekte dat alles wat valt, met dezelfde versnelling valt, de zogenaamde valversnelling. Voor zijn experimenten gebruikte hij metalen bollen. Met veertjes of papiertjes werkt dit niet in verband met de luchtweerstand, maar metalen bollen hebben zo weinig oppervlakte in verhouding tot hun massa dat luchtweerstand daar geen rol speelt. Die meneer Eötvös waar Einstein in zijn voetnoot naar verwijst is de Hongaarse wetenschapper Loránd Eötvös. Middels een ingenieus experiment heeft hij de valversnelling heel nauwkeurig vergeleken voor verschillende voorwerpen: tot op negen cijfers achter de komma! Hij bevestigde daarmee de juistheid van de ontdekking van Galileï.

Eén van de astronauten van de Apollo 15, David Scott, heeft de gelijkheid van de valversnelling in 1971 gedemonstreerd op de Maan. De Maan heeft geen atmosfeer en daar is dus ook geen luchtweerstand. Scott liet gelijktijdig een hamer en een veer vallen, en de hamer en de veer raakten gelijktijdig de grond! Daarom: hulde aan Galileï! Dus even onthouden: alles wat valt, valt met dezelfde versnelling.

Newton maakte vervolgens duidelijk waarom dingen versnellen. Versnellingen worden veroorzaakt door krachten, met andere woorden: als er op een voorwerp geen kracht wordt uitgeoefend, dan is de versnelling nul. En aangezien versnelling een ander woord is voor snelheidsverandering betekent dit dat een voorwerp waarop geen kracht wordt uitgeoefend dezelfde (constante) snelheid behoudt. Aldus luidt de eerste wet van Newton: ieder voorwerp, waar geen kracht op uitgeoefend wordt, beweegt zich met constante snelheid langs een rechte lijn. En met kracht bedoel ik hier de netto kracht, want als op een voorwerp twee krachten uitgeoefend worden die even groot zijn maar tegengesteld gericht, dan is de netto kracht nul en ondervindt het voorwerp geen versnelling. Als iemand tegen jou aan duwt en aan de andere kant van jou duwt er ook iemand tegen jou aan, en met evenveel duwkracht als die andere persoon, dan gebeurt er per saldo helemaal niets en blijf jij staan waar je staat. Ter ere aan Newton heet de eenheid van kracht tegenwoordig: Newton. Samengevat: kracht zorgt voor versnelling, oftewel: F = ma (kracht = massa maal versnelling).

Dat experiment van Loránd Eötvös is wel interessant om even wat nauwkeuriger onder de loep te nemen, want hoe heeft hij dat voor elkaar gekregen om honderd jaar geleden dit soort nauwkeurigheden te bereiken? Door ‘gewoon’ dingen te laten vallen is het meten van de valversnelling moeilijk omdat het allemaal zo snel gaat, het is een zeer dynamisch gebeuren. Kortom, dit moet slimmer aangepakt worden om tot een hogere nauwkeurigheid te komen.

Stel, ik draai een voorwerp rond aan een touwtje, dan spant het touwtje zich. Het voorwerp aan het uiteinde van het touwtje wil het liefst in een rechte lijn voortbewegen (eerste wet van Newton: ieder voorwerp, waar geen kracht op uitgeoefend wordt, beweegt zich met constante snelheid langs een rechte lijn), maar het touwtje zegt eigenlijk non-stop tegen het voorwerp “hier blijven jij!”, “hier blijven jij!”, “hier blijven jij!”, enzovoort Daardoor ontstaat de cirkelbeweging van het voorwerp, het touwtje dwingt het voorwerp tot het volgen van een cirkelvormige baan. De weerstand van het voorwerp tegen het continu moeten veranderen van richting heet traagheid of met een mooi wetenschappelijk woord inertie. Breekt het touwtje, dan gaat het voorwerp direct over tot het volgen van zijn zo felbegeerde rechte lijn: het gaat er in rechte lijn en met constante snelheid vandoor (simplistisch voorgesteld, want de luchtweerstand remt het voorwerp af en de zwaartekracht zorgt voor een vanaf nul toenemende snelheid richting het aardoppervlak). Iets soortgelijks gebeurt er ook met jou en mij wanneer wij gewoon op de grond staan: door de draaiing van de Aarde hebben we een bepaalde snelheid en de zwaartekracht heeft de functie van het touwtje die zorgt dat wij niet ‘wegvliegen’ van het aardoppervlak. De kracht die ervoor moet zorgen dat ik niet wegvlieg van de Aarde heet officieel centripetale kracht (Fc) en die moet ‘het verzet breken’ van mijn trage massa oftewel inertiële massa (mi) om rechtdoor te gaan. Dit verschijnsel gaan we eens nader onderzoeken:


Figuur 2.6
De snelheid v blijft in grootte constant, dus | va | = | vb |, maar wijzigt continu van richting. Terwijl de snelheid va (voor het gemak) alleen een y-component heeft, dus vay = v en vax = 0, kent vb wel een vbx en een vby. Voor de componenten van vb kunnen we schrijven:





Bovendien geldt voor de hoeksnelheid ω:



Hierdoor kunnen we de componenten van de versnelling a berekenen:





Waaruit de versnelling a volgt:



Omdat bovendien:



Volgt hieruit tenslotte voor de versnelling a:



En dit stoppen we in Newton’s fameuze vergelijking: F = ma (kracht = massa maal versnelling):



Hierin is r de straal van de cirkel die ik beschrijf. Wanneer ik op de evenaar sta is dat de straal van de Aarde en wanneer ik op de noordpool sta is r = 0. In het plaatje hieronder heb ik die centripetale kracht aangegeven voor enkele plaatsen op Aarde. De verticale stippellijn is de draaiingsas van de Aarde:


Figuur 2.7
Op de noordpool draai ik wel rond, maar omdat de straal van mijn draaicirkel daar nul is, is er daar geen centripetale kracht. Ik geef in het plaatje ook even een hoek φ aan. De hoek φ geeft aan op welke breedtegraad ik mij bevind:


Figuur 2.8
Wanneer ik met rA de straal van de Aarde aangeef dan wordt Fc als volgt:



Uit deze vergelijking is inderdaad af te lezen dat Fc op de noordpool nul is, want φ is dan 90 graden en de cosinus van 90 graden is nul. En aan de evenaar is Fc maximaal, want φ is daar nul graden en de cosinus is dan één. Als je op de evenaar op de weegschaal gaat staan ben je dus iets lichter dan wanneer je op de noordpool op de weegschaal staat. Dit behoeft ook nog weer een opmerking, want de Aarde draait om de Zon en dat levert ook een centripetale kracht op. Wanneer ik aan de door de Zon verlichte zijde van de Aarde, dus overdag, op de weegschaal sta dan geeft de weegschaal meer aan (de centripetale kracht duwt mij op de weegschaal) en wanneer ik aan de donkere zijde van de Aarde, dus ’s nachts, op de weegschaal sta dan geeft de weegschaal minder aan (de centripetale kracht probeert mij weg te laten vliegen van de weegschaal). Deze Fc,Zon is weliswaar een stuk minder dan Fc,Aarde (een factor 5.7), maar toch. Goed, waar ik uiteindelijk in geïnteresseerd ben is de component van Fc die parallel loopt aan het aardoppervlak: Fch (het “h”-tje staat voor horizontaal):


Figuur 2.9
Deze horizontale component van Fc kan ik beschrijven als:



Daarnaast heerst op al die verschillende plaatsen natuurlijk ook overal zwaartekracht die gelijk is in grootte en naar het middelpunt van de Aarde gericht is. Die zwaartekracht geef ik hieronder aan met Fg (de “g” van gravitatie) en die is niet op dezelfde schaal getekend als Fc in het vorige plaatje (in werkelijkheid is Fc veel kleiner dan Fg):


Figuur 2.10
Datgene in mij dat onderhevig is aan zwaartekracht heet zware massa oftewel gravitationele massa (mg). Galileï onderzocht de valversnelling van allerlei verschillende dingen door die dingen te laten vallen en vervolgens mat hij met de hem beschikbare hulpmiddelen (en dat waren er in die tijd nog niet veel) de valtijd. Eötvös bedacht enkele eeuwen later een betere methode om metingen aan de valversnelling te verrichten. Hij liet eigenlijk gewoon iets hangen en dat iets kwam dan door de horizontale component van de centripetale kracht als gevolg van het ronddraaien van de Aarde een heel klein beetje scheef te hangen. En de horizontale component van deze kracht is hierboven beschreven in vergelijking (2.13). Het is eenvoudig in te zien (of na te rekenen) dat deze kracht een maximum bereikt voor φ = 45 graden, en Eötvös had wat dat betreft mazzel want zijn laboratorium in het Hongaarse Boedapest staat op 47.5 graden noorderbreedte. Laten we eens gaan rekenen. De vergelijking voor de zwaartekracht is (ook een wet van Newton):



Wat weten we allemaal:



Hieruit volgt volgens vergelijkingen (2.13) en (2.14):



Omdat het er in de praktijk dus om gaat of mi = mg (dit is niet vanzelfsprekend!) kunnen we nu uitrekenen onder welke hoek iets scheef hangt, want de tangens van die scheefhang-hoek is 0.0168/9.80 = 1.714 ∙ 10−3. Oftewel, de scheefhang-hoek is arctan (1.714 ∙ 10−3) = 0.098 graden. Dat is inderdaad maar een heel klein hoekje, maar er is wel een oneindige zee van tijd om metingen te doen want er beweegt helemaal niets, de opstelling is volkomen statisch. Eötvös was de eerste (voor zover ik kan nagaan) die metingen betreffende de valversnelling ombouwde van dynamisch naar statisch. Maar deze ‘oneindige zee van tijd’ heeft ook weer een kanttekening nodig, want door de Fc,Zon die ik zojuist noemde zijn er veranderingen in dit hele krachtenspel gedurende een etmaal. Als je maar lang genoeg meet dan middelt dat wel weer uit en Eötvös deinsde er dan ook niet voor terug om een enkele meting weken te laten duren. Het blijft een geweldige prestatie wat Eötvös heeft gedaan, want dit kleine hoekje van iets minder dan een tiende graad kon hij zeer nauwkeurig meten (met behulp van een balans, een spiegeltje, een telescoop en veel vakmanschap) en vergelijken voor allerhande materialen. Einstein was er heel blij mee omdat het voor hem een belangrijk basisprincipe werd dat alles dezelfde valversnelling heeft, en anderen werden er ook blij van omdat met het apparaat van Eötvös bijvoorbeeld ook naar olie gezocht kon worden (door de variatie in zwaartekracht te meten). Daarom: hulde aan Eötvös!

Alles bij elkaar hebben we nu twee belangrijke uitgangspunten:
  1. Alles wat valt, valt met dezelfde versnelling: a (maar voor de valversnelling gebruikt men doorgaans de letter g).
  2. Kracht zorgt voor versnelling: F = ma = mg (bij versnellingen spreekt men daarom ook wel over g-krachten).
En toen kreeg Einstein ineens een briljante ingeving: als twee cowboys, Jan en Piet, ten opzichte van elkaar een versnelde beweging hebben, dan kan Jan het volgende zeggen over Piet (Jan staat boven op een toren in een uitkijkpost naar Piet te kijken die voorbij komt suizen): OF: Voor Jan is er absoluut geen onderscheid te maken of Piet zich in de ene of de andere situatie bevindt, beide situaties zijn equivalent (equivalent betekent gelijkwaardig). Maar als we ons even voorstellen dat het heel erg mistig is en Jan kan de voet van de toren, waar hij op staat, niet zien dan is er voor Jan nog een dilemma. Jan kan zich twee situaties inbeelden: OF: Ook nu weer is er voor Jan absoluut geen onderscheid te maken tussen beide situaties, ze zijn wederom equivalent. Dus zowel ten aanzien van Piet als ten aanzien van hemzelf kan Jan geen onderscheid maken of hij of Piet ‘echt’ versneld wordt of zich in de greep bevindt van een zwaartekrachtveld. Einstein noemde dit daarom het equivalentieprincipe.

Binnen de speciale relativiteitstheorie kunnen twee waarnemers A en B stellen: OF: Binnen de algemene relativiteitstheorie kunnen dezelfde waarnemers A en B stellen: OF: Daarom merkt Einstein nog even op: door te wisselen van referentiestelsel (lees: coördinatensysteem) kun je simpelweg een zwaartekrachtveld ‘opwekken’. Vanaf dit moment was het ook voor Einstein duidelijk dat zijn algemene relativiteitstheorie tevens een theorie over de zwaartekracht zou worden.

In zijn artikel heeft Einstein het natuurlijk niet over cowboys, maar hij pakt het veel wetenschappelijk correcter aan (al zou het mij eerlijk gezegd niet verbaasd hebben als Einstein dit aan de hand van een voorbeeld met cowboys had gedaan). Einstein begint over twee referentiesystemen K en K' waarbij K' een versnelde beweging uitvoert ten opzichte van K. Ten opzichte van K beweegt er een massa M (een voorwerp zeg maar) zich langs een rechte lijn (dus het is zeer ver verwijderd van eventuele andere massa’s die het zouden kunnen beïnvloeden en deze massa M van zijn rechte lijn af zouden kunnen brengen) en met constante snelheid (dus zijn versnelling is nul ten opzichte van K). Deze situatie geldt uiteraard in een beperkt gebied, want duizend kilometer verderop of over drie weken komt de massa M misschien wel onder invloed van een andere massa (wellicht komt M dan zelfs in botsing) en dan is er van een rechte lijn en constante snelheid natuurlijk geen sprake meer. Daarom vermeldt Einstein specifiek dat we een vierdimensionaal gebied beschouwen waar we kunnen stellen dat de massa M beweegt langs een rechte lijn met constante snelheid. Vierdimensionaal? Ja, vierdimensionaal, drie ruimtelijke dimensies (lengte, breedte en hoogte) en de tijd. Dus bijvoorbeeld een kubieke kilometer gedurende de komende twee minuten. Omdat het systeem K' een versnelde beweging uitvoert ten opzichte van K kun je stellen dat de massa M (die een constante snelheid heeft ten opzichte van K) een versnelde beweging uitvoert ten opzichte van K'. En deze versnelde beweging moet volledig onafhankelijk zijn van de samenstelling en welke eigenschappen dan ook van de massa M, omdat Einstein hier op zijn manier het equivalentieprincipe duidelijk wil maken. Galileï ontdekte reeds dat alles wat valt met dezelfde versnelling valt. Als een bepaalde kracht een andere versnelling zou geven aan een kilo goud dan aan een kilo zilver, of een andere versnelling zou geven aan een kilo vast goud dan aan een kilo gesmolten goud of een kilo goudgas, dan werkt die kracht anders uit dan de zwaartekracht en is het equivalentieprincipe niet toepasbaar. Ik kan mij niet voorstellen hoe een kracht anders uit zou kunnen werken op een kilo goud dan op een kilo zilver, maar goed, Einstein houdt niet van half werk en vermeldt dit daarom expliciet. Vervolgens komt de hamvraag: kan een waarnemer in K' stellen dat hij zich daarom in een ‘werkelijk’ versneld systeem bevindt? Het antwoord is “nee”, voor hetzelfde geld is K' niet versneld ten opzichte van K, maar bevindt het zich in een zwaartekrachtveld die de massa M aantrekt en hem ten opzichte van K' laat versnellen. Dit is het equivalentieprincipe, zo simpel en logisch en toch een wereldontdekking en heel belangrijk. Zowel K als K' kunnen claimen een systeem-in-rust te zijn en zijn daarom gelijkwaardig. En dit is helemaal in overeenstemming met onze ervaringswereld. Iemand die in een dorpje woont en nog nooit buiten zijn dorp is geweest zal nooit met zekerheid kunnen zeggen of hij op Aarde woont of in een hele grote raket reist (met geruisloze motoren en een versnelling van 9.8 m/s2, zijnde de valversnelling aan het oppervlak van de Aarde).

Toch heeft ook deze uitspraak een belangrijke kanttekening. Stel ik heb een blok van 1 meter bij 1 meter bij 1 meter, een kubieke meter dus. De dichtheid (de soortelijke massa) van dit blok is overal gelijk aan 1 kilogram per dm3 (dus gelijk aan de dichtheid van water) en het hele blok heeft daarom een massa van 1000 kilogram. Met behulp van de zwaartekrachtwet van Newton kan ik de zwaartekracht berekenen die wordt uitgeoefend op dit blok:





Nu ga ik inzoomen. De onderste millimeter van het blok is het duizendste deel van het totale blok en heeft dus een massa van 1 kilogram. De zwaartekracht die deze kilogram ondervindt is:



De bovenste millimeter van het blok is uiteraard ook het duizendste deel van het totale blok en heeft dus ook een massa van 1 kilogram maar bevindt zich 1 meter hoger (om precies te zijn liggen de zwaartepunten, de middelpunten van de bovenste laag van 1 millimeter en de onderste laag van 1 millimeter, dat zijn de aangrijpingspunten van de zwaartekracht, 999 millimeter boven elkaar maar die rond ik voor het gemak even af op precies één meter):



Deze twee krachten ga ik van elkaar aftrekken:



Het deel tussen haakjes ga ik eerst uitrekenen:



Daarmee wordt ∆Fg dan:



De valversnelling aan het oppervlak van de Aarde is 9.8 m/s2, dus 1 kilogram die op het oppervlak van de Aarde ligt ondervindt een zwaartekracht van 9.8 N. Echter, op een hoogte van 1 meter is dit ‘al’ met ruim 3 µN afgenomen. In verticale richting ondervindt het blok waar we net aan gerekend hebben dus een kracht van ruim 3 µN die het blok uit elkaar probeert te trekken (maar dat gaat met 3 µN natuurlijk niet lukken).

Dit hadden we trouwens ook op een andere manier aan kunnen pakken door de zwaartekracht te differentiëren:



Dit differentiaalquotiënt kunnen we ook schrijven als differentiequotiënt:



Door nu voor ∆r 1 meter in te vullen krijgen we via een andere weg hetzelfde antwoord (omdat ∆r veel kleiner is als rA is deze benadering via het differentiequotiënt nauwkeurig genoeg):



En er is nog iets te vertellen over dit blok. Wanneer ik de krachten teken die de zwaartekracht uitoefent op twee tegenover elkaar staande zijkanten van het blok dan ziet dat er als volgt uit (het blok en de Aarde zijn niet op schaal getekend):


Figuur 2.11
Nu ga ik weer inzoomen op het blok waarbij ik gelijk wat hoeken aangeef:


Figuur 2.12
Wanneer ik de breedte van het blok d noem en de omtrek van de Aarde O, dan geldt:



De hoek α is dus een zeer klein hoekje. Ik ga nog verder inzoomen op de linkerzijkant van het blok:


Figuur 2.13
De pijl geeft de zwaartekracht aan die op de zijkant van het blok wordt uitgeoefend en ik ben geïnteresseerd in de horizontale component van deze kracht:



Verder weet ik dat:



In de volgende vergelijking maak ik gebruik van deze regel uit de goniometrie:



Met behulp van de vergelijkingen (2.23) en (2.24) kan ik vergelijking (2.22) schrijven als:



Omdat α een heel klein hoekje is kan ik de volgende limiet inzetten:



Waardoor vergelijking (2.25) met een zeer goede benadering wijzigt in:



Voor mb neem ik weer 1 kilogram (dus 1 mm rand van het blok), d is 1 meter (de breedte van het blok) en ik moet vergelijking (2.27) nog met 2 vermenigvuldigen omdat zowel op de linkerkant van het blok als op de rechterkant deze kracht inwerkt. Uiteindelijk kom ik zo tot het resultaat:



In cijfers:



Deze anderhalve µN is natuurlijk ook totaal niet iets om wakker van te liggen, maar er zijn onmiskenbaar krachten aan het werk die het blok proberen te deformeren. In verticale richting probeert de zwaartekracht het blok uit elkaar te trekken en in horizontale richting probeert de zwaartekracht het blok plat te drukken. Deze twee krachten noemt men de getijdenkrachten. Het equivalentieprincipe zegt dat het zich bevinden in een zwaartekrachtveld en ‘echt’ versneld worden niet van elkaar te onderscheiden zijn, ze zijn equivalent. Het zijn echter de getijdenkrachten die het wel degelijk mogelijk maken om onderscheid te maken tussen de ene situatie en de andere. Het equivalentieprincipe geldt dus alleen in een ‘beperkt gebied’ zonder dat het woord “beperkt” nauwkeurig te definiëren is! Dit lijkt heel onwetenschappelijk maar hier is in de praktijk prima mee te leven. Ik schreef hiervoor dat:
“Iemand die in een dorpje woont en nog nooit buiten zijn dorp is geweest zal nooit met zekerheid kunnen zeggen of hij op Aarde woont of in een hele grote raket reist (met geruisloze motoren en een versnelling van 9.8 m/s2, zijnde de valversnelling aan het oppervlak van de Aarde).”
Dit is dus wat kort door de bocht. Stel dat je thuis op de begane grond een baksteen op de weegschaal legt, en niet zomaar een weegschaal maar eentje met een nauwkeurigheid van ongeveer tien cijfers. Vervolgens loop je met die weegschaal met de baksteen erop naar boven en leest opnieuw af. Indien de weegschaal boven een fractie minder aangeeft dan beneden dan weet je zeker dat je je in een zwaartekrachtveld bevindt. Is het daarentegen zo dat de weegschaal boven hetzelfde aangeeft dan moet je je serieus afvragen of je niet ontvoerd bent door aliens en nu meereist in hun ruimteschip op een soort holodek. Oftewel, in dat geval is er geen zwaartekracht maar ‘doodgewone’ versnelling.

Je merkt het, alles wordt in deze paragraaf door Einstein overhoop gehaald. Dus ook de hoeksteen van zijn speciale relativiteitstheorie, de constante lichtsnelheid, wordt erbij gesleept. Want de volgende tegenstrijdigheid dringt zich terstond op: door van referentiestelsel te wisselen, ondergaat een lichtstraal dan ‘ineens’ een versnelling (lees: zijn snelheid verandert, terwijl licht juist een constante snelheid heeft) en beweegt ook niet meer langs een rechte lijn, maar langs een gebogen lijn (een versnelling betekent dat er een kracht uitgeoefend wordt, en die kracht veroorzaakt een afbuiging van de rechte lijn). Dus over het constant zijn van de lichtsnelheid wil Einstein ook nog wel iets gaan zeggen, of zoals hij het stelt: “dat principe moet aangepast worden”.

Nu staat werkelijk alles op losse schroeven, alle fundamenten wankelen. Dit wordt een hele spannende reis!