Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 1

Trefwoorden: algemene relativiteitstheorie, Annalen der Physik, Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie/De grondslag van de algemene relativiteitstheorie, Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften/Koninklijke Pruisische Academie der Wetenschappen

Oorspronkelijke Duitse tekst van deze paragraaf (opent in een nieuw tabblad)
Nederlandse vertaling van deze paragraaf (opent in een nieuw tabblad)
Hoofdstuk A:
Principiële overwegingen bij het relativiteitsbeginsel.


Paragraaf 1:
Opmerkingen betreffende de speciale relativiteitstheorie.

In 1905 kwam Einstein met zijn speciale relativiteitstheorie op de proppen. Maar wat was er nou speciaal aan die theorie? Waarom is die theorie de geschiedenis ingegaan als speciale relativiteitstheorie en niet gewoon kortweg als relativiteitstheorie? Het speciale zit daarin dat het gaat over referentiestelsels die met een constante snelheid bewegen ten opzichte van elkaar. Of om het heel netjes te zeggen: ze bewegen ten opzichte van elkaar met eenparige snelheid.

Voor referentiestelsel kun je ook lezen ‘waarnemer’ of ‘voorwerp’ of ‘laboratorium’. Maar dit is niet zomaar een woordspelletje, en in de dagelijkse praktijk hebben we wel een onbewust gevoel wat een referentiestelsel of het referentiestelsel is, maar we spreken het eigenlijk nooit uit. Wanneer je op de snelweg rijdt met 120 kilometer per uur dan zeg je bijvoorbeeld: “ik rijd 120”. Nog afgezien daarvan dat de eenheid niet vermeld wordt, de luisteraar mag zelf bedenken dat het gaat om kilometers per uur, vinden we het ook vanzelfsprekend dat de 120 kilometer per uur ‘gemeten’ is ten opzichte van het asfalt waar we op rijden. En dit asfalt zit vast aan de Aarde, dus de Aarde is het referentiestelsel. Maar een referentiestelsel is niet alleen een referentiepunt, het is een heel stelsel. Onbewust leggen we een heel coördinatenstelsel aan met een x-as, een y-as en een z-as. En die assen zijn star en recht en onvervormbaar en alom aanwezig. Bovendien zijn die assen ook nog zo gericht dat ik +120 kilometer per uur rijd en niet −120 kilometer per uur, want ik moet de eerste persoon nog tegenkomen die zegt dat hij of zij een negatieve snelheid heeft. Daarnaast is deze +120 kilometer per uur in de richting van de koplampen van de auto (of iets anders dat aan de voorkant van de auto zit) en de automobilisten aan de andere kant van de vangrail hebben overduidelijk hun assenstelsel anders opgesteld. Zij stellen ‘natuurlijk’ ook dat ze +120 kilometer per uur rijden en niet −120 kilometer per uur. De ogenschijnlijk simpele opmerking “ik rijd 120” steunt dus op een natuurkundig bouwwerk waar we normaliter helemaal niet bij stil staan: het referentiestelsel.

Een referentiestelsel kiezen is meestal simpel en voor de hand liggend, maar niet altijd. In de meeste gevallen kiezen we de Aarde. Wanneer ik op de snelweg rijd dan kan ik ook de Maan als referentiestelsel kiezen, maar dat is niet handig. De Maan draait om de Aarde, dus als ik mijn snelheid refereer aan de Maan dan levert dat complexe wiskundige uitdrukkingen op waar mijn toehoorder niet mee geholpen is (als ik het al überhaupt voor elkaar krijg om die wiskundige uitdrukkingen op te stellen). Maar we kunnen ook doorschieten naar de andere kant. Vroeger nam men altijd de Aarde als referentiestelsel en beschreef men de banen van de andere planeten en de Zon ten opzichte van de Aarde, het universum was geocentrisch (geo betekent Aarde). In dat wereldbeeld waren de planeetbanen cirkelbewegingen gesuperponeerd op cirkelbewegingen: onhandig dus. Deze gesuperponeerde cirkels heten epicykels en dat ziet er als basisprincipe zo uit:


Figuur 1.1

Deze epicykels werden geïntroduceerd door de Griek Ptolemaeus om daarmee de planeetbewegingen te kunnen verklaren. Je kunt je wellicht voorstellen dat het vasthouden aan de Aarde als het middelpunt van het universum én vervolgens de loop van alle planeten beschrijven met cirkelbewegingen al gauw uit de hand gaat lopen. Ptolemaeus had uiteindelijk meer dan honderd (!) epicykels nodig om alles ‘kloppend’ te maken en zijn kosmische model hield toch meer dan duizend jaar stand! Pas toen men de Zon als referentie nam, het universum werd heliocentrisch (helio verwijst naar Zon), werden de planeetbanen eenvoudig beschrijfbaar. Op zich maakt het niet uit, en mag het niet uitmaken, wat ik als referentiestelsel kies maar het ene stelsel is gewoon handiger dan een ander stelsel.

Iets waar geen (netto) krachten op inwerken beweegt zich met een constante snelheid. Dit is de eerste wet van Newton en daar gaan we nog regelmatig op terugkomen. Ik heb hier expliciet “netto” vermeld, want als ik aan het fietsen ben met constante snelheid dan werken er vele krachten op mij in: de wind, de zwaartekracht, de wrijving met het asfalt, de wrijvingen tussen de bewegende delen van de fiets, takken die wellicht tegen mij aan zwiepen, enzovoort. Maar door mijn spierkrachten zo te doseren dat ze al die ‘tegenwerking’ compenseren is de netto kracht nul en fiets ik daarom met constante snelheid. Een referentiestelsel waar geen krachten aan het werk zijn noemen we een inertiaalstelsel. Dus netjes gezegd: de speciale relativiteitstheorie beperkt zich tot inertiaalstelsels. Als er krachten aan het werk zijn dan is er geen sprake van een inertiaalstelsel en staat de speciale relativiteitstheorie buitenspel.

Alle inertiaalstelsels zijn gelijkwaardig, ze zijn equivalent. Het ene stelsel is wellicht handiger om mee te werken dan een ander stelsel maar dat verandert niets aan de gelijkwaardigheid van beide stelsels. Als ik even voortborduur op het voorbeeld dat ik met constante snelheid aan het fietsen ben dan kan ik uit vele mogelijke referentiestelsels kiezen. Ik kan een referentiestelsel kiezen dat ‘vastzit’ aan de laatste ANWB-paddenstoel die ik ben tegengekomen, of aan een willekeurige boom die ik gepasseerd ben, of een fietser (met constante snelheid) die mij tegemoet komt. Ik kan zelfs mijn eigen fiets als referentiestelsel kiezen! In alle gevallen kan ik mijn afgelegde afstand beschrijven als:



Opmerking: elke vergelijking in deze uitleg krijgt een nummer die tussen de haakjes staat vóór de vergelijking. Het getal voor de punt refereert aan de paragraaf waar we mee bezig zijn, en het getal na de punt is gewoon een volgnummer.

Wanneer ik mijn referentiestelsel ‘verbind’ aan een ANWB-paddenstoel of een boom dan staat er in bovenstaande vergelijking bijvoorbeeld 15 kilometer per uur voor de snelheid. Indien mijn referentiestelsel ‘vastzit’ aan de tegemoetkomende fietser dan staat er in bovenstaande vergelijking bijvoorbeeld 30 kilometer per uur voor de snelheid. En als mijn eigen fiets het referentiestelsel is dan is de snelheid in bovenstaande vergelijking nul. Maar de vergelijking is in alle gevallen hetzelfde, want alle inertiaalstelsels zijn gelijkwaardig en daardoor ook de vergelijkingen die de bewegingen in een inertiaalstelsel beschrijven. De gelijkwaardigheid van alle inertiaalstelsels impliceert dus dat alle natuurkundewetten in alle inertiaalstelsels gelden. Dit heet het speciale relativiteitsprincipe.

De speciale relativiteitstheorie gaat dus over referentiestelsels die met een constante snelheid bewegen ten opzichte van elkaar. Maar in de echte wereld zijn er natuurlijk niet alleen maar constante snelheden, onze snelheden wisselen aan de lopende band. Mijn vingers die dit allemaal intikken vormen een complexe brij van bewegingen en dus ook van snelheden. Soms typ ik wat sneller en dan weer langzamer, mijn vingers gaan heen en weer van de ene toets naar de andere, en soms houden ze even stil wanneer ik aan het nadenken ben wat ik wil gaan intypen. De snelheid van mijn vingers is eigenlijk nauwelijks constant. Als de snelheid van een vinger van mij wel constant is, dan is dat eigenlijk heel bijzonder, het is speciaal. Daarom kun je de eerste relativiteitstheorie van Einstein duiden als speciale relativiteitstheorie: het gaat over de speciale gevallen waarbij snelheden constant zijn.

Einstein spreekt over het relativiteitsprincipe als het speciale relativiteitsprincipe dat zegt dat alle natuurkundewetten altijd en overal en voor iedereen moeten gelden zolang er sprake is van een inertiaalstelsel. Hierin wordt het woord “speciaal” dus gebruikt om constante snelheden te benadrukken, oftewel inertiaalstelsels. Dus een natuurkundewet geldt voor een waarnemer in rust exact gelijk als voor een waarnemer die met constante snelheid de andere waarnemer passeert. Bedenk maar een willekeurig natuurkundeproefje, bijvoorbeeld ‘ik laat een knikker vallen’, dan levert dat dezelfde resultaten op voor iemand die stilstaat, als voor iemand die stilstaat op een varend schip, als voor iemand die stilstaat in een vliegtuig dat met honderden kilometers per uur voortraast. Het voorval dat Einstein specifiek aan het denken zette was dat het niet uitmaakt of een magneet naar een spoel beweegt of een spoel naar een magneet, ze leveren beide exact dezelfde elektrische spanning op aan de contacten van de spoel. Maar toentertijd waren voor ditzelfde fenomeen twee natuurkundige formuleringen aanwezig, iets wat Einstein terecht onzinnig vond (voor het complete verhaal hierover zie de uitleg van de speciale relativiteitstheorie op de site van het Einsteingenootschap).

Die vallende knikker die ik zojuist noemde, daarvan kun je het valtraject (wanneer is de knikker waar?) volledig beschrijven met behulp van de wetten van Newton. En ik kan één vergelijking opstellen die zowel het valtraject beschrijft van de vallende knikker hier als op het schip als in het vliegtuig. De wetten van Newton voldoen dus perfect aan het relativiteitsprincipe. Nee, ze voldoen niet perfect, ze voldoen voldoende. Einstein gooit er gelijk het subtiele woordje “voldoende” (“Genüge”) in. De speciale relativiteitstheorie wijkt niet af van de klassieke mechanica door het relativiteitsprincipe, maar door het principe van het constant zijn van de lichtsnelheid (in vacuüm). Het relativiteitsprincipe, dat kenden Galileï en Newton ook wel, maar met de constante lichtsnelheid hebben ze nooit rekening gehouden (daar hadden ze ook helemaal geen weet van). Door rekening te houden met de constante lichtsnelheid kom je uiteindelijk uit bij de Lorentz-transformaties, en dat, plus het hele verhaal eromheen, is de speciale relativiteitstheorie.

Met een geweldig gevoel voor understatement zegt Einstein dat onze theorieën over ruimte en tijd weliswaar diepgaand gewijzigd zijn met de komst van de speciale relativiteitstheorie, want diepgaand is naar mijn mening nog te zwak uitgedrukt, maar er bleef nog een belangrijk punt onaangeroerd. De speciale relativiteitstheorie bouwt gewoon voort op de wetten van de geometrie, de meetkunde die we op school leren, en daarop zijn ook de wetten van de bewegingsleer gebaseerd. Mijn meetlat van een meter is een meetlat van precies een meter en mijn klok die elke seconde een seconde verder tikt is een klok die elke seconde precies een seconde verder tikt. Dat dit afhankelijk is van waar ik mij bevind en hoe mijn positie (oriëntatie) is, daar sta ik helemaal niet bij stil. Het idee dat dat iets uitmaakt komt helemaal niet in mij op. Maar wel bij Einstein: “Het zal snel duidelijk worden dat de algemene relativiteitstheorie aan deze eenvoudige betekenis van ruimte en tijd niet kan vasthouden”.

De zwaartekracht is een bijzondere kracht. De zwaartekracht is een van de vele krachten die op ons inwerken, de hele dag door. Iemand duwt tegen je aan, of iemand trekt aan je arm, of de wind waait je in het gezicht. Dit gaat de hele dag door en het is zo gewoon dat we er helemaal niet bij stilstaan. Maar al die krachten zijn er wel degelijk en we kunnen ze ook voelen. Waarom voel je nou eigenlijk een kracht? Stel dat iemand aan je arm trekt, dan probeert die persoon een beweging in gang te zetten van jouw lichaam in de richting waarin getrokken wordt. Daar kun je aan toegeven, de rest van je lichaam gaat dan ook in de trekrichting bewegen, of je kunt er niet aan toegeven (indien mogelijk) en je lichaam blijft waar het is. Welke keuze je ook maakt, op het allereerste moment dat er aan je arm getrokken wordt is de rest van je lichaam nog niet aan het bewegen en dat is duidelijk voelbaar in je arm. Er is een conflict in je lichaam, je arm beweegt (want daar wordt aan getrokken) en de rest nog niet. Dit conflict is voelbaar en als er maar hard genoeg getrokken wordt dan schreeuw je het wellicht uit van de pijn.

Een kracht die op je inwerkt en dan tevens op je totale lichaam inwerkt, op elk atoom van je lichaam op hetzelfde moment, die voel je niet. Want alle atomen van je lichaam worden dan exact tegelijk in beweging gezet een bepaalde kant op. De zwaartekracht is zo’n kracht, zwaartekracht kunnen wij niet voelen! Stel dat je uit een vliegtuig springt dan voel je helemaal niets. Als je geen parachute bij je hebt dan voel je het angstzweet op je rug omdat je het aardoppervlak ziet naderen en de dood in de ogen kijkt, maar je voelt absoluut geen zwaartekracht. Je hoort en voelt de lucht om je heen suizen, maar de zwaartekracht kun je niet waarnemen. Stel dat je in een geluidsdichte kist uit het vliegtuig was gekieperd dan zou je onmogelijk kunnen zeggen of je aan het vallen bent of niet (voor hetzelfde geld zweef je gewoon ergens in de ruimte rond tussen de sterren). Wij kunnen geen zwaartekracht waarnemen. Op het moment dat de zwaartekracht tegengewerkt wordt, dan pas nemen wij die waar. Wanneer je in het voorbeeld hierboven verpletterd wordt op het moment dat je het aardoppervlak raakt dan kun je in de laatste fractie van een seconde van je bestaan concluderen: er is zwaartekracht. Waarom word je moe van lang staan? Omdat je al die tijd de zwaartekracht aan het tegenwerken bent. Als je struikelt voel je pas pijn wanneer je de grond raakt, want dát is het moment dat de zwaartekracht tegengewerkt wordt. De zwaartekracht is namelijk de enige bekende kracht binnen de natuurkunde die wij pas waarnemen op het moment dat die tegengewerkt wordt. Alle andere krachten vallen in die andere categorie en zijn direct te voelen op het moment dat ze er zijn. De zwaartekracht is alleen al om deze reden een hele bijzondere kracht.

Daarnaast is de zwaartekracht een hele zwakke kracht. Alles om mij heen ondervindt de invloed van zes quadriljoen kilogram aardmassa en toch kost het mij geen enkele moeite om dingen op te tillen. Ook dat is iets waar we normaliter niet bij stilstaan, en tegelijkertijd is het diezelfde zwakke zwaartekracht die de bewegingen in het universum dicteert. Van planeten tot sterren en complete sterrenstelsels zoals de Melkweg, alles beweegt onder invloed van die spectaculaire zwaartekracht.

En nog even wat overpeinzingen van mijn kant, want waren er nou eigenlijk open eindjes of onverklaarde verschijnselen in de natuurkunde van ruim honderd jaar geleden die dringend een oplossing behoefden en aanstuurden op een algemene relativiteitstheorie? Of waren er anderszins zaken die ‘niet goed voelden’, die nogal gekunsteld in elkaar zaten? Als we bijvoorbeeld kijken naar waar we nu staan in de natuurkunde dan zijn daar bijvoorbeeld de donkere materie en de donkere energie, dit zijn allebei ‘dingen’ die erbij bedacht zijn om ons wereldbeeld overeind te houden, om te zorgen dat alles nog steeds klopt met ‘zoals we denken dat het universum in elkaar zit’. Ik weet niet hoe het u vergaat, maar dit ongefundeerde bedenken van luchtkastelen met als enige doel om de bestaande orde te laten voortbestaan voelt bij mij helemaal niet goed. Het zal mij niet verbazen als ze over honderd jaar net zo raar aankijken tegen donkere materie en donkere energie zoals wij nu raar aankijken tegen de ether van honderd jaar geleden. Wat onder andere onverklaard was aan het begin van de vorige eeuw, was dat de zwaartekracht, zoals Newton die had geformuleerd, instantaan (direct) werkzaam was. Als iemand nú de Zon weghaalt uit het zonnestelsel dan vliegt de Aarde pas over ruim acht minuten uit haar baan om de Zon, maar volgens Newton zou dat instantaan gebeuren. Dit houdt in dat de zwaartekracht zich met oneindige snelheid doet gelden, en oneindig bestaat nu eenmaal niet in de werkelijkheid. Bovendien zegt Newton niets over een of ander medium waardoor die zwaartekracht zich dan ‘verplaatst’, er wordt niets gezegd over hoe een voorwerp zijn zwaartekracht overbrengt naar zijn omgeving. De instantane werking van de zwaartekracht en het gebrek aan medium waren niet echt zaken die voor acute problemen zorgden, maar echt lekker zat het natuurlijk ook niet.

Wat wel duidelijk een onverklaard open eindje was is het volgende. De planeten draaien in elliptische banen om de Zon, maar niet alleen de planeten draaien, de banen draaien zelf ook! Omdat deze planeetbanen elliptisch zijn kent iedere baan een aphelium (het punt dat het verst van de Zon af ligt) en een perihelium (het punt dat het dichtst bij de Zon ligt). Op onverklaarbare wijze bleek dat het perihelium van de planeet Mercurius een heel klein beetje bewoog. Deze beweging noemen we precessie. Per omloop (dus per mercuriusjaar) verplaatste zijn perihelium zich bijna dertig kilometer meer dan op basis van de zwaartekrachtwet van Newton verklaarbaar was.


Figuur 1.2

De perihelia van alle planeten verplaatsen zich als gevolg van de onderlinge aantrekkingskrachten tussen de planeten, maar met behulp van de wetten van Newton was dit niet volledig te verklaren. Het minieme verschil tussen ‘Newtonse zwaartekracht’ en de werkelijkheid werd in 1855 ontdekt door de Fransman Urbain Le Verrier voor de planeet Mercurius. Weliswaar is het verloop van de periheliumprecessie van Mercurius nog geen dertig kilometer per mercuriusjaar, en daardoor nauwelijks waarneembaar, maar een mercuriusjaar duurt minder dan drie maanden op Aarde waardoor per aardejaar het verloop al ruim honderd kilometer is (vier maal zoveel) en per eeuw ruim tienduizend kilometer (honderd maal zoveel). Dit laatste viel ook in de negentiende eeuw al op, om te beginnen dus door Le Verrier. Het wiskundige talent van Le Verrier maakte het hem ook mogelijk om te berekenen waar de tot dan toe onbekende planeet Neptunus zich moest bevinden en in 1846 werd Neptunus inderdaad op die positie waargenomen. Daarom: hulde aan Le Verrier! De ‘afwijking’ in de beweging van de perihelia van de andere planeten is er natuurlijk ook, maar dit was vroeger niet meetbaar en zelfs tegenwoordig lukt dit alleen redelijk voor de binnenplaneten. Voor de planeet Mercurius berekende Le Verrier een afwijking van 38 boogseconden per eeuw en hij ging er van uit dat een nog onontdekte planeet tussen Mercurius en de Zon deze afwijking veroorzaakte. Deze planeet kreeg alvast een naam, Le Verrier doopte de planeet Vulcanus, maar ondanks alle inspanningen werd de planeet nooit gevonden.

Enkele decennia later, in 1884, wist de astronoom Simon Newcomb de berekeningen van Le Verrier te verfijnen en kwam tot een precessie van 43 boogseconden per eeuw. Deze periheliumbeweging was niet iets om heel erg wakker van te liggen, maar het was absoluut geen meetfout, het gebeurde echt en het was onverklaarbaar. Einstein wist van dit probleem en gebruikte zijn vergelijkingen direct om aan de beweging van Mercurius te rekenen. Hij vond precies het onverklaarde verschil van 43 boogseconden per eeuw waar Le Verrier als eerste tegenaan gelopen was en ging van blijdschap volledig uit zijn dak door deze eerste bevestiging van zijn theorie. In de laatste paragraaf van het artikel, paragraaf 22, kom ik hier uitgebreid op terug.

De Duitser Hugo von Seeliger liet ook van zich horen. Hij redeneerde in 1895 als volgt: stel je beschouwt een bolvormig gebied in het heelal. De massa in het heelal is op grote schaal min of meer gelijkmatig verdeeld, daar ging Newton al van uit en daar gaan we tegenwoordig ook nog steeds van uit. De zwaartekracht die door het bolvormige gebied gegenereerd wordt aan de ‘oppervlakte’ van deze bol is evenredig met de massa binnen die bol en dus evenredig met het volume van die bol en dus evenredig met de derde macht van de straal van die bol. Tegelijkertijd neemt de zwaartekracht af met het kwadraat van de afstand tot het bolcentrum volgens de zwaartekrachtwet van Newton. Per saldo neemt de zwaartekracht op het boloppervlak dus toe met de straal. En omdat het heelal oneindig groot is (zoals toen werd aangenomen) zal de zwaartekracht oneindig worden op een willekeurig te kiezen plaats in het heelal.

Een andere Duitser, Heinrich Olbers, kwam in 1820 al met een redenering waarbij de oneindigheid van het heelal eveneens een sleutelrol speelde. We stellen ons wederom een bolvormig gebied voor. In de bol ziet men sterren aan de ‘oppervlakte’ van deze bol en dit aantal sterren neemt toe met de oppervlakte van de bol en dus evenredig met de tweede macht van de straal van die bol. De helderheid van die sterren neemt daarentegen af met de straal van de bol en dit gaat ook met de tweede macht. Indien het heelal oneindig groot is dan zou per saldo de hemel een oneindige sterrenzee moeten zijn en ons ’s nachts doen baden in het licht, net als overdag, en dit is overduidelijk niet het geval. Deze tegenstrijdigheid is de geschiedenisboeken ingegaan als de Olbers-paradox. Aan Olbers’ redenering is wel wat af te dingen, want er zijn natuurlijk ook verduisterende objecten in het heelal zoals nevels (een soort gordijnen in dit geval), maar de simpele werkelijkheid is toch echt dat het tijdens een maanloze nacht aardedonker is (bij afwezigheid van kunstlicht) en dat staat haaks op deze redenering.

Wat Einstein waarschijnlijk wel altijd heeft bezig gehouden, en waar de Oostenrijker Ernst Mach terecht ook een punt van maakte, is het volgende: indien iets draait, waarom kan dan van dat ‘iets’ beweerd worden dat het draait? Dit klinkt in eerste instantie heel simpel. Wanneer ik in een draaimolen zit dan voel ik dat ik draai. Maar als die draaimolen met mij erin het enige zou zijn in een verder leeg heelal, wat is er dan buiten mijn gevoel voor wetenschappelijke aanwijzing dat ik draai? En indien er een kilometer boven mij een andere draaimolen is, met mijn broer erin, die ‘niet draait’ (dat wil zeggen, mijn broer heeft niet het draaigevoel dat ik heb) dan kunnen wij toch beiden zeggen “ik draai wel en jij niet” of “ik draai niet en jij wel” want de situatie is volledig symmetrisch. En als de draaimolen dan ook nog heel langzaam zou gaan draaien, zodat het draaigevoel niet waarneembaar is, dan komen mijn broer en ik nimmer tot een antwoord op de vraag: wie draait er? Newton kwam tot het antwoord: je draait als je draait ten opzichte van de ruimte. Er zijn vele varianten op dit draaimolenvraagstuk en tot op de dag van vandaag blijft dit de gemoederen bezig houden.

Tijdens de negentiende eeuw legden mannen als Olbers, Le Verrier, Seeliger en Mach het bouwwerk van Newton onder een vergrootglas en ontdekten ‘dingen die niet klopten’. Uiteindelijk was het Einstein die aan het begin van de twintigste eeuw met antwoorden kwam, uitgaande van simpele uitgangspunten maar met ver reikende conclusies (en uiteraard, zo gaat dat dan, gevolgd door vele nieuwe vragen).